Fonctions cosinus et sinus

Placer sur un cercle trigonométrique les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ associés aux réels suivants, en donnant pour chacun sa mesure principale (dans $]-\pi\,;\,\pi]$) :

$$\dfrac{2\pi}{3}\,; \quad -\dfrac{\pi}{4}\,; \quad \dfrac{7\pi}{6}\,; \quad \dfrac{11\pi}{3}\,; \quad -\dfrac{5\pi}{2}\,; \quad \dfrac{9\pi}{4}.$$

Donner la valeur exacte de :

$$a = \cos\dfrac{17\pi}{4}\,; \quad b = \sin\dfrac{23\pi}{6}\,; \quad c = \cos\left(-\dfrac{10\pi}{3}\right)\,; \quad d = \sin\dfrac{31\pi}{4}\,; \quad e = \cos(2\,023\pi).$$

Simplifier, pour tout réel $x$ :

1. $A(x) = \sin(\pi + x) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) - \cos(-x) + \sin(\pi - x)$ ;
2. $B(x) = \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x) + 2\cos(-x)$ ;
3. $C(x) = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) - \cos(x - \pi)$.

Calculer la dérivée de chaque fonction, dérivable sur l'intervalle indiqué.

1. $f_1(x) = 3\cos x - 2\sin x + 4x^2$ sur $\mathbb{R}$ ;
2. $f_2(x) = x\cos x$ sur $\mathbb{R}$ ;
3. $f_3(x) = x^2\sin x$ sur $\mathbb{R}$ ;
4. $f_4(x) = \sin x\cos x$ sur $\mathbb{R}$ ;
5. $f_5(x) = \dfrac{1}{\cos x}$ sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$ ;
6. $f_6(x) = \dfrac{\cos x}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

Pour chaque fonction définie sur $\mathbb{R}$, calculer $f(-x)$ et conclure.

1. $f(x) = x^2\cos x$
2. $g(x) = x + \sin x$
3. $h(x) = \cos x + \sin x$
4. $k(x) = x\sin x$
5. $m(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$

On a tracé ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = a\cos(bt)$, où $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs.

1. Lire le maximum de $f$ et en déduire $a$.
2. Lire la période de $f$ et en déduire $b$.
3. Calculer $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ et vérifier sur le graphique.

Résoudre dans $[0\,;\,2\pi[$ les équations :

1. $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ ;
2. $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
3. $\cos x = 0$ ;
4. $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;
5. $\sin x = -1$.

On considère les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2\sin x$, $g(x) = \cos x + 1$ et $h(x) = \sin(2x)$. Associer chacune à sa courbe en justifiant.

On admet que, pour tous réels $a$ et $b$ : $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ et $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$.

1. Vérifier que $\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{12}$.
2. En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{11\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{11\pi}{12}$.
3. Vérifier que $\cos^2\dfrac{11\pi}{12} + \sin^2\dfrac{11\pi}{12} = 1$.
4. En déduire $\cos\dfrac{\pi}{12}$ sans nouveau calcul.

Soit $x$ un réel de $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ tel que $\sin x = \dfrac{5}{13}$.

1. Calculer $\cos x$.
2. En déduire $\cos(\pi - x)$, $\sin(\pi + x)$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ et $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
3. Calculer $\sin(2x)$ et $\cos(2x)$ (on rappelle $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$ et $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$).

Calculer la dérivée de chaque fonction (dérivable sur l'intervalle indiqué).

1. $f(x) = 4\sin(3x - 2)$ sur $\mathbb{R}$
2. $g(x) = -5\cos\left(\dfrac{\pi}{3} - 2x\right)$ sur $\mathbb{R}$
3. $h(x) = \cos(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$
4. $k(x) = \cos^3 x$ sur $\mathbb{R}$
5. $m(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sur $]0\,;\,+\infty[$
6. $p(x) = \sqrt{3 + \cos x}$ sur $\mathbb{R}$
7. $r(x) = x\sin(2x)$ sur $\mathbb{R}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$.

1. Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$, qu'elle est $2\pi$-périodique et impaire. Sur quel intervalle suffit-il de l'étudier ?
2. Montrer que $f'(x) = \dfrac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,\pi]$.
4. En déduire un encadrement de $f(x)$ valable pour tout réel $x$.

Les fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, sont-elles périodiques ? Si oui, donner une période.

1. $f(x) = 3\sin(4x)$
2. $g(x) = \cos\left(\dfrac{x}{3}\right)$
3. $h(x) = \sin(2x) + \cos(3x)$
4. $k(x) = \cos^2 x$
5. $m(x) = x + \cos x$

Résoudre dans $]-\pi\,;\,\pi]$ :

1. $\cos(2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
2. $\sin\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;
3. $2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + \sqrt{2} = 0$.

1. Résoudre dans $[0\,;\,2\pi[$ l'équation $\cos(2x) = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
2. Résoudre dans $]-\pi\,;\,\pi]$ l'équation $\sin(3x) = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Résoudre dans $[0\,;\,2\pi[$ :

1. $\cos x \gt \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;
2. $\sin x \geq -\dfrac{1}{2}$ ;
3. $\cos x \leq -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
4. $\sin x \lt \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Résoudre dans $]-\pi\,;\,\pi]$ :

1. $\sin x \leq \dfrac{1}{2}$ ;
2. $2\cos x + 1 \gt 0$ ;
3. $(2\sin x - 1)\cos x \geq 0$ (on pourra faire un tableau de signes).

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2X^2 + 3X - 2 = 0$.
2. En déduire les solutions dans $[0\,;\,2\pi[$ de $2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$.
3. Résoudre dans $[0\,;\,2\pi[$ l'inéquation $2\sin^2 x + 3\sin x - 2 \lt 0$.

On rappelle que $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ pour tout réel $x$.

1. Montrer que l'équation $(E)$ : $\cos(2x) - 3\cos x + 2 = 0$ équivaut à $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$.
2. Résoudre $(E)$ dans $]-\pi\,;\,\pi]$.
3. Résoudre dans $]-\pi\,;\,\pi]$ l'inéquation $\cos(2x) - 3\cos x + 2 \leq 0$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe de la fonction sinus.

1. Déterminer une équation des tangentes $T_0$, $T_1$ et $T_2$ à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses respectives $0$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\pi$.
2. Calculer les coordonnées du point d'intersection de $T_0$ et $T_2$.
3. En quels points de $\mathcal{C}$ d'abscisse dans $[0\,;\,2\pi]$ la tangente est-elle horizontale ? Parallèle à $T_0$ ?

Soit $g$ la fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $g(x) = x - \sin x$.

1. Étudier les variations de $g$.
2. En déduire que, pour tout $x \geq 0$, $\sin x \leq x$.
3. À l'aide de l'imparité du sinus, comparer $\sin x$ et $x$ pour $x \leq 0$.
4. La courbe du sinus et la droite d'équation $y = x$ ont-elles d'autres points communs que l'origine ?

Déterminer les limites suivantes.

1. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x}$
2. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x + \sin x}{x + 1}$
3. $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 + 3\cos x)$
4. $\lim\limits_{x \to -\infty} (x + 5\sin x)$

On rappelle que $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$. Déterminer :

1. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x)}{x}$
2. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{3x}$
3. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ (multiplier par $1 + \cos x$)
4. $\lim\limits_{x \to +\infty} x\sin\left(\dfrac{2}{x}\right)$

La tension délivrée par un micro placé près d'un piano qui joue un do est modélisée par $u(t) = 1{,}2\sin(524\pi t)$, avec $t$ en secondes et $u$ en volts.

1. Donner l'amplitude du signal. Calculer sa période $T$ (en millisecondes, arrondie au centième) et sa fréquence.
2. Vérifier par le calcul que $u(t + T) = u(t)$.
3. Calculer $u'(t)$. Quelle est la vitesse de variation maximale de la tension ?
4. Déterminer les instants de $[0\,;\,T[$ où $u(t) = 0{,}6$ V.

Un mobile accroché à un ressort horizontal oscille autour de sa position d'équilibre $O$. Son abscisse $f(t)$ ($t$ en secondes) vérifie l'équation $(E)$ : $f''(t) + 16f(t) = 0$, où $f''$ est la dérivée de $f'$.

1. Soit $A$ et $B$ deux réels. Vérifier que $f(t) = A\cos(4t) + B\sin(4t)$ est solution de $(E)$.
2. À l'instant $t = 0$, le mobile est en $O$ et sa vitesse vaut $8$ : $f(0) = 0$ et $f'(0) = 8$. Déterminer $A$ et $B$.
3. Donner l'amplitude et la période du mouvement.
4. À quels instants de $]0\,;\,\pi]$ le mobile repasse-t-il par $O$ ? Quelle est alors sa vitesse ?

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. La fonction $x \mapsto \cos(3x)$ est périodique de période $\dfrac{2\pi}{3}$.
2. Pour tout réel $x$, $\sin(x + \pi) = \sin x$.
3. La fonction $x \mapsto x\sin x$ est paire.
4. La dérivée de $x \mapsto \cos^2 x$ est $x \mapsto -2\sin x$.
5. L'équation $\sin x = 0{,}3$ a exactement deux solutions dans $[0\,;\,2\pi[$.
6. La fonction sinus est croissante sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

On s'intéresse à l'équation $\cos x = \dfrac{x}{2}$ sur l'intervalle $[0\,;\,2]$, et on pose $g(x) = \cos x - \dfrac{x}{2}$.

1. Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,2]$. Calculer $g(0)$ et donner le signe de $g(2)$. Justifier que l'équation admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;\,2]$.
2. Compléter la fonction Python ci-dessous pour qu'elle renvoie un encadrement de $\alpha$ d'amplitude au plus $p$.

from math import cos

def encadre(p):
    a, b = 0, 2
    while b - a > p:
        m = (a + b) / 2
        if ...... :
            a = m
        else:
            b = m
    return a, b

3. Faire tourner l'algorithme « à la main » pour $p = 0{,}01$ : donner les intervalles successifs.

Une grande roue a un rayon de $28$ m et son centre est à $30$ m du sol. Elle fait un tour complet en $20$ minutes. Une cabine part du point le plus bas à l'instant $t = 0$. Sa hauteur (en mètres) au bout de $t$ minutes est $h(t) = 30 - 28\cos\left(\dfrac{\pi t}{10}\right)$, pour $t \in [0\,;\,20]$.

1. Calculer $h(0)$, $h(10)$ et $h(20)$. Interpréter.
2. Pendant combien de temps la cabine se trouve-t-elle à au moins $44$ m de hauteur au cours d'un tour ?
3. Calculer $h'(t)$. À quel instant la cabine monte-t-elle le plus vite ? Quelle est alors sa vitesse verticale (à $0{,}01$ m/min près) et sa hauteur ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x) - 2\cos x$ et $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique et paire. Justifier qu'il suffit de l'étudier sur $[0\,;\,\pi]$.
2. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x) = 2\sin x\,(1 - 2\cos x)$. (On rappelle $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$.)
3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\,\pi]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,\pi]$.
4. En déduire le minimum et le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$.
5. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution $\beta$ dans $[0\,;\,\pi]$. En posant $X = \cos x$, montrer que $\cos\beta = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}$ et donner une valeur approchée de $\beta$.
6. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$.

On plie une plaque de zinc de $30$ cm de large en trois bandes de $10$ cm pour fabriquer une gouttière : le fond est horizontal et les deux bords font le même angle $\theta$ avec la verticale, où $\theta \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.

1. Exprimer la hauteur $h$ de la gouttière et la largeur de son ouverture en fonction de $\theta$. En déduire que l'aire de la section est $A(\theta) = 100\cos\theta\,(1 + \sin\theta)$ (en cm²).
2. Montrer que $A'(\theta) = 100(1 - 2\sin\theta)(1 + \sin\theta)$.
3. Dresser le tableau de variations de $A$ sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
4. Pour quel angle la gouttière transporte-t-elle le plus d'eau ? Donner l'aire maximale exacte, puis arrondie au dixième. De quel pourcentage cette aire dépasse-t-elle celle obtenue avec des bords verticaux ?

Le but est de montrer que, pour tout réel $x \geq 0$ : $x - \dfrac{x^3}{6} \leq \sin x \leq x$.

1. Soit $g(x) = x - \sin x$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Montrer que $g(x) \geq 0$.
2. Soit $\varphi(x) = \cos x - 1 + \dfrac{x^2}{2}$ sur $\mathbb{R}$. Calculer $\varphi'(x)$, puis montrer que $\varphi(x) \geq 0$ pour $x \geq 0$. En déduire que $\cos x \geq 1 - \dfrac{x^2}{2}$ pour tout réel $x$.
3. Soit $\psi(x) = \sin x - x + \dfrac{x^3}{6}$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Montrer que $\psi(x) \geq 0$ et conclure.
4. Application : encadrer $\sin(0{,}3)$ et préciser l'erreur commise en remplaçant $\sin(0{,}3)$ par $0{,}2955$.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sin x - \dfrac{x}{3}$. On cherche le nombre de solutions de l'équation $\sin x = \dfrac{x}{3}$.

1. Montrer que si $|x| \gt 3$, alors $g(x) \neq 0$. Que peut-on en déduire ?
2. Montrer que $g$ est impaire. Justifier qu'il suffit d'étudier $g$ sur $[0\,;\,3]$.
3. Calculer $g'(x)$. Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in \left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $\cos\alpha = \dfrac{1}{3}$, puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0\,;\,3]$ (on admet $\alpha \approx 1{,}23$ et $g(\alpha) \approx 0{,}53$).
4. En déduire que l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution $\beta$ dans $]0\,;\,3]$ et en donner une valeur approchée au millième.
5. Combien l'équation $\sin x = \dfrac{x}{3}$ a-t-elle de solutions sur $\mathbb{R}$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = e^{-x/2}\sin(2x)$, de courbe $\Gamma$, et $g$ la fonction définie par $g(x) = e^{-x/2}$, de courbe $\mathcal{C}$.

1. Montrer que $-e^{-x/2} \leq f(x) \leq e^{-x/2}$ pour tout $x \geq 0$, puis déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
2. Déterminer les abscisses des points communs à $\Gamma$ et $\mathcal{C}$.
3. Calculer $f'(x)$ et montrer qu'en chacun de ces points, $\Gamma$ et $\mathcal{C}$ ont la même tangente.
4. On pose $u_n = f\left(\dfrac{\pi}{4} + n\pi\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $(u_n)$ est géométrique, préciser sa raison et sa limite. Interpréter.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,\pi]$ par $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$.

1. Montrer que $f'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$ avec $h(x) = x\cos x - \sin x$.
2. Étudier les variations de $h$ sur $[0\,;\,\pi]$ et en déduire son signe sur $]0\,;\,\pi]$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ (avec la limite en $0$).
4. En déduire l'inégalité de Jordan : pour tout $x \in \left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\sin x \geq \dfrac{2}{\pi}x$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin x\cos^2 x$.

1. Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique et impaire.
2. Montrer que $f(\pi - x) = f(x)$ pour tout réel $x$. Interpréter graphiquement et justifier qu'il suffit d'étudier $f$ sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
3. Montrer que $f'(x) = \cos x\,(1 - 3\sin^2 x)$.
4. On admet qu'il existe un unique $x_0 \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin x_0 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ et calculer la valeur exacte de $f(x_0)$.
5. En déduire le maximum et le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.