∑ Mathématiques Première STI2S · Chapitre 2

Évolutions et suites numériques

Proportions, taux d'évolution, coefficient multiplicateur, évolutions successives et réciproques, indices base 100, premières suites numériques.

1. Proportions et pourcentages

Définition · Proportion

Si une partie d'effectif $n_A$ est incluse dans un ensemble d'effectif $n_E$, la proportion de $A$ dans $E$ est $p = \dfrac{n_A}{n_E}$ (un nombre entre $0$ et $1$, souvent écrit en %). Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$.

Exemple

Un hôpital emploie $350$ personnes dont $84$ infirmiers : $p = \dfrac{84}{350} = 0{,}24 = 24\,\%$. Et $15\,\%$ de $240$ € valent $0{,}15 \times 240 = 36$ €.

2. Taux d'évolution et coefficient multiplicateur

Définition

Quand une grandeur passe d'une valeur de départ $V_D$ à une valeur d'arrivée $V_A$ :

le taux d'évolution est $t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}$ ;
le coefficient multiplicateur est $CM = \dfrac{V_A}{V_D} = 1 + t$.

Ainsi $V_A = V_D \times (1 + t)$. Une hausse de $t\,\%$ correspond à $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$, une baisse de $t\,\%$ à $CM = 1 - \dfrac{t}{100}$.

Exemple

Hausse de $7\,\%$ : $CM = 1{,}07$. Baisse de $12\,\%$ : $CM = 0{,}88$. Un $CM$ de $1{,}35$ traduit une hausse de $35\,\%$ ; un $CM$ de $0{,}6$ une baisse de $40\,\%$.

Méthode · Retrouver une valeur de départ

On divise par le coefficient multiplicateur : $V_D = \dfrac{V_A}{CM}$. Un prix de $54$ € après une hausse de $8\,\%$ valait $\dfrac{54}{1{,}08} = 50$ €.

3. Évolutions successives et réciproques

Propriété · Évolutions successives

Le coefficient multiplicateur global de plusieurs évolutions successives est le produit des coefficients multiplicateurs : $CM_\text{global} = CM_1 \times CM_2 \times \dots$

Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 15 % ne donne pas + 5 % mais + 2 %.

Attention · Les pourcentages ne s'ajoutent pas

Une hausse de $20\,\%$ puis une baisse de $20\,\%$ donnent $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ : une baisse de 4 %, et non un retour à la valeur initiale.

Propriété · Évolution réciproque

L'évolution qui ramène $V_A$ à $V_D$ a pour coefficient multiplicateur $CM' = \dfrac{1}{CM}$. Après une baisse de $20\,\%$ ($CM = 0{,}8$), il faut une hausse de $\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$, soit $+25\,\%$, pour revenir au départ.

4. Indices base 100

Définition

On choisit une valeur de référence $V_0$ à laquelle on associe l'indice $100$. L'indice d'une valeur $V$ est $I = 100 \times \dfrac{V}{V_0}$. Un indice de $112$ traduit une hausse de $12\,\%$ par rapport à la référence ; un indice de $93{,}5$ une baisse de $6{,}5\,\%$.

Indices du nombre de patients d'un centre (base 100 en 2020) : la ligne pointillée marque la référence.

5. Des évolutions répétées aux suites

Définition · Suite numérique

Une suite $(u_n)$ associe à chaque entier $n$ un nombre $u_n$ (le terme de rang $n$). On peut la définir :

de façon explicite : $u_n = 3n + 2$, on calcule directement $u_5 = 17$ ;
par récurrence : $u_0 = 1\,200$ et $u_{n+1} = 0{,}95\,u_n$, chaque terme se calcule à partir du précédent.

Exemple · Une évolution répétée

Un service reçoit $1\,200$ appels en janvier, puis $5\,\%$ de moins chaque mois : $u_0 = 1\,200$, $u_1 = 1\,140$, $u_2 = 1\,083$, $u_3 \approx 1\,028{,}9$. Répéter une évolution de $t\,\%$ revient à multiplier à chaque étape par le même $CM$.

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