Division, multiples et diviseurs
Division euclidienne, division décimale, multiples, diviseurs et critères de divisibilité.
1. La division euclidienne
Définition · Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de $a$ (le dividende) par $b$ (le diviseur, $b \neq 0$), c'est trouver deux entiers $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que :
$$a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad r \lt b$$Exemple
$47 = 6 \times 7 + 5$ : le quotient de $47$ par $6$ est $7$ et le reste est $5$ (et $5 \lt 6$).
2. Multiples et diviseurs
Définition · Multiple, diviseur
Si le reste de la division de $a$ par $b$ est nul, on dit que $a$ est un multiple de $b$, que $b$ est un diviseur de $a$, ou que $a$ est divisible par $b$.
Exemple : $36 = 4 \times 9$, donc $36$ est un multiple de $4$ et de $9$ ; $4$ et $9$ sont des diviseurs de $36$.
Propriété · Critères de divisibilité
- par $2$ : le chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$ ;
- par $5$ : le chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
- par $10$ : le chiffre des unités est $0$ ;
- par $3$ : la somme des chiffres est divisible par $3$ ;
- par $9$ : la somme des chiffres est divisible par $9$ ;
- par $4$ : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par $4$.
3. La division décimale
Méthode · Continuer la division après la virgule
Quand le reste n'est pas nul, on peut continuer la division : on place une virgule au quotient et on ajoute des zéros au dividende.
Exemple
$17 \div 4 = 4{,}25$ car $17 = 4 \times 4 + 1$, puis $10 \div 4 = 2$ reste $2$, puis $20 \div 4 = 5$ reste $0$.
Propriété · Diviser par 10, 100, 1 000
Diviser par $10$, $100$, $1\,000$ décale les chiffres de $1$, $2$, $3$ rangs vers la droite : $58 \div 100 = 0{,}58$.
Attention · Division qui ne se termine pas
Certaines divisions ne s'arrêtent jamais : $10 \div 3 = 3{,}333\ldots$ On donne alors une valeur approchée ou un arrondi : $10 \div 3 \approx 3{,}33$.
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Exercices corrigés
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Égalité euclidienne
★☆☆Effectuer la division euclidienne de $157$ par $12$ et écrire l'égalité correspondante.
Lire une égalité
★☆☆On a $89 = 7 \times 12 + 5$. a) Quel est le quotient et le reste de la division de $89$ par $7$ ? b) Et de la division de $89$ par $12$ ?
Les bus
★★☆$250$ élèves partent en voyage dans des bus de $48$ places. Combien de bus faut-il réserver ?
Critères de divisibilité
★☆☆Parmi $120$ ; $345$ ; $708$ ; $1\,233$ ; $990$, lesquels sont divisibles par $2$ ? par $3$ ? par $5$ ? par $9$ ?
Liste des diviseurs
★★☆Donner la liste de tous les diviseurs de $36$, puis de $28$.
Multiples
★☆☆Donner les $6$ premiers multiples non nuls de $7$, puis les multiples de $15$ compris entre $50$ et $100$.
Division décimale
★★☆Poser et calculer : $58{,}5 \div 9$ ; $23 \div 4$ ; $7{,}2 \div 6$.
Par 10, 100, 1 000
★☆☆Calculer : $347 \div 10$ ; $5{,}6 \div 100$ ; $82 \div 1\,000$ ; $0{,}9 \div 10$.
Valeur approchée
★★☆Donner l'arrondi au centième de : $20 \div 3$ ; $5 \div 7$.
Partage équitable
★★☆Quatre amis se partagent équitablement une addition de $87{,}60$ €. Combien paie chacun ?
Prix unitaire
★★☆Un lot de $6$ yaourts coûte $2{,}70$ €, un lot de $8$ coûte $3{,}44$ €. Quel lot est le plus avantageux ?
Heures et minutes
★★☆Convertir $200$ minutes en heures et minutes, puis $500$ secondes en minutes et secondes.
Le chiffre manquant
★★☆Trouver toutes les valeurs du chiffre $u$ pour que $52u$ soit divisible par $3$. Lesquelles le rendent aussi divisible par $2$ ?
Divisible par 4
★★☆Parmi $316$ ; $1\,030$ ; $2\,724$ ; $5\,518$, lesquels sont divisibles par $4$ ?
Carrelage sans découpe
★★★On veut carreler un mur de $240$ cm sur $180$ cm avec des carreaux carrés, sans découpe, les plus grands possible, dont le côté est un nombre entier de cm. Quel est leur côté ? Combien en faut-il ?
Nombre mystère
★★★Je suis un nombre compris entre $40$ et $60$. Dans ma division par $5$, le reste est $3$ ; je suis divisible par $4$. Qui suis-je ?
Trouver le dividende
★★☆Dans une division euclidienne, le diviseur est $9$, le quotient $14$ et le reste $6$. Quel est le dividende ?
Diviser par un décimal
★★★Calculer $12{,}6 \div 0{,}3$ en rendant le diviseur entier.
Rubans
★★☆Un rouleau de $15$ m de ruban est découpé en morceaux de $0{,}6$ m. Combien de morceaux obtient-on ?
Paquets de billes
★★☆Louis a entre $60$ et $80$ billes. S'il les range par $6$ ou par $8$, il n'en reste aucune. Combien en a-t-il ?
Moyenne d'un trimestre
★★☆Zoé a eu $14$ ; $11{,}5$ ; $16$ ; $9$ et $12$ en mathématiques. Calculer sa moyenne.
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