Proportionnalité et pourcentages
Reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle et appliquer un pourcentage.
1. Situation de proportionnalité
Définition · Proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on obtient les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Exemple
Le prix payé est proportionnel à la masse de fromage : $1$ kg coûte $14$ €, $2$ kg coûtent $28$ €, $0{,}5$ kg coûte $7$ €. Le coefficient est $14$.
| Masse (kg) | $1$ | $2$ | $0{,}5$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | $14$ | $28$ | $7$ | $42$ |
Attention · Tout n'est pas proportionnel
La taille d'un enfant n'est pas proportionnelle à son âge ; le prix d'un taxi (prise en charge + prix au km) n'est pas proportionnel à la distance.
2. Calculer une quatrième proportionnelle
Méthode · Trois procédures
- Coefficient : on multiplie par le coefficient de proportionnalité.
- Linéarité : si on double une quantité, l'autre double ; on peut additionner deux colonnes.
- Passage par l'unité : on calcule d'abord pour $1$, puis on multiplie.
Exemple · Passage par l'unité
$5$ cahiers coûtent $6$ €. $1$ cahier coûte $6 \div 5 = 1{,}20$ €, donc $8$ cahiers coûtent $8 \times 1{,}20 = 9{,}60$ €.
3. Les pourcentages
Définition · Pourcentage
Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$.
Exemple
$30\,\%$ de $80$ € : $\dfrac{30}{100} \times 80 = 24$ €.
Propriété · Pourcentages simples
$50\,\%$ = la moitié ; $25\,\%$ = le quart ; $10\,\%$ = le dixième ; $100\,\%$ = le tout.
4. Échelles
Définition · Échelle
Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{1\,000}$, les longueurs sur le plan et dans la réalité sont proportionnelles : $1$ cm sur le plan représente $1\,000$ cm $= 10$ m en réalité.
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Exercices corrigés
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Tableau de proportionnalité ?
★☆☆Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? a) $2 \to 5$ ; $4 \to 10$ ; $6 \to 15$. b) $3 \to 9$ ; $5 \to 15$ ; $8 \to 20$.
Compléter un tableau
★☆☆Des stylos coûtent $1{,}50$ € l'unité. Donner le prix de $2$, $5$, $10$ et $12$ stylos.
Recette de crêpes
★☆☆Pour $4$ personnes, il faut $250$ g de farine et $3$ œufs. Quelles quantités pour $12$ personnes ?
Passage par l'unité
★★☆$6$ croissants coûtent $5{,}40$ €. Combien coûtent $9$ croissants ?
Linéarité
★★☆$3$ kg de pommes coûtent $4{,}20$ € et $5$ kg coûtent $7$ €. Sans calculer le prix au kg, trouver le prix de $8$ kg puis de $2$ kg.
Situation non proportionnelle
★★☆Un taxi facture $4$ € de prise en charge et $1{,}50$ € par km. Le prix est-il proportionnel à la distance ? Justifier avec $2$ km et $4$ km.
Calculer un pourcentage
★☆☆Calculer : $10\,\%$ de $250$ ; $25\,\%$ de $36$ ; $50\,\%$ de $17$ ; $15\,\%$ de $60$.
Soldes
★★☆Un pull à $45$ € est soldé à $-20\,\%$. Calculer le montant de la réduction et le nouveau prix.
Pourcentage d'une classe
★★☆Dans une classe de $25$ élèves, $8$ sont externes. Quel pourcentage des élèves est externe ?
Échelle d'une carte
★★☆Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{100\,000}$, deux villages sont distants de $7{,}5$ cm. Quelle est la distance réelle en km ?
Plan d'une maison
★★☆Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{50}$, une pièce de $4$ m de long est représentée par quelle longueur ?
Vitesse constante
★★☆Un cycliste roule à vitesse constante et parcourt $18$ km en $45$ min. Quelle distance parcourt-il en $1$ h ? en $15$ min ?
Consommation d'essence
★★☆Une voiture consomme $6$ L pour $100$ km. Combien consomme-t-elle pour $350$ km ?
Retrouver le coefficient
★☆☆Un tableau de proportionnalité contient la colonne $8 \to 20$. Quel est le coefficient ? Compléter : $12 \to \ldots$ ; $\ldots \to 45$.
Jus d'orange
★★☆Avec $5$ kg d'oranges, on obtient $2$ L de jus. Quelle masse d'oranges faut-il pour $3$ L de jus ?
Augmentation
★★☆Un abonnement de $30$ € augmente de $10\,\%$. Quel est le nouveau prix ?
Graphique et proportionnalité
★★☆On représente le prix en fonction de la quantité. Dans quel cas les points sont-ils alignés sur une droite passant par l'origine ?
Mélange de peinture
★★★Pour obtenir une teinte, on mélange $3$ pots de bleu pour $2$ pots de jaune. Élodie a $7{,}5$ L de bleu. Combien de jaune doit-elle ajouter ? Quel volume total obtient-elle ?
Comparer deux offres
★★★Magasin A : paquet de $750$ g de café à $6$ €. Magasin B : paquet de $1$ kg à $7{,}60$ €. Où le café est-il le moins cher ?
Pourcentage de réussite
★★★Au collège Victor-Hugo, $171$ élèves sur $180$ ont réussi le brevet ; au collège Jean-Moulin, $114$ sur $120$. Comparer les taux de réussite.
Maquette
★★★La maquette d'un bateau de $36$ m de long mesure $45$ cm. Quelle est l'échelle ? Quelle est la longueur réelle d'un mât qui mesure $15$ cm sur la maquette ?
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