Droites, segments et cercles
Le vocabulaire de la géométrie : points, droites, segments, droites parallèles et perpendiculaires, cercle.
1. Droites, demi-droites, segments
Définition · Notations
- La droite $(AB)$ passe par $A$ et $B$ et est illimitée des deux côtés.
- La demi-droite $[AB)$ a pour origine $A$ et passe par $B$.
- Le segment $[AB]$ est la portion de droite comprise entre $A$ et $B$ ; sa longueur se note $AB$.
Propriété · Points alignés
Des points sont alignés s'ils appartiennent à une même droite. Par deux points distincts, il passe une seule droite.
Définition · Milieu
Le milieu $I$ du segment $[AB]$ est le point de $[AB]$ situé à égale distance de $A$ et de $B$ : $AI = IB = \dfrac{AB}{2}$.
2. Droites perpendiculaires et parallèles
Définition · Perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit. On note $(d_1) \perp (d_2)$. On les trace à l'équerre.
Définition · Parallèles
Deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais (ou sont confondues). On note $(d_1) \parallel (d_2)$.
Propriété · Trois propriétés à connaître
- Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles et qu'une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre.
3. Le cercle
Définition · Cercle
Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à la distance $r$ de $O$.
- Un rayon relie le centre à un point du cercle.
- Une corde relie deux points du cercle ; une corde qui passe par le centre est un diamètre : $d = 2 \times r$.
- Un arc est une portion de cercle.
Méthode · Reporter une longueur
Le compas permet de tracer un cercle mais aussi de reporter une longueur sans la mesurer.
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Exercices corrigés
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Notations
★☆☆Traduire par une phrase : a) $M \in [AB]$ ; b) $P \notin (CD)$ ; c) $(d) \perp (d')$ ; d) $(AB) \parallel (EF)$.
Droite, demi-droite ou segment ?
★☆☆Parmi $(AB)$, $[AB]$, $[AB)$ et $[BA)$, lequel : a) a une longueur ? b) a pour origine $B$ ? c) est illimité des deux côtés ?
Milieu
★☆☆$I$ est le milieu de $[AB]$ et $AB = 9{,}4$ cm. Calculer $AI$.
Nombre de droites
★★☆Combien de droites différentes peut-on tracer passant par deux des quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ (trois quelconques jamais alignés) ?
Rayon et diamètre
★☆☆a) Un cercle a un rayon de $3{,}5$ cm : quel est son diamètre ? b) Un cercle a un diamètre de $11$ cm : quel est son rayon ?
Vocabulaire du cercle
★☆☆$A$ et $B$ sont deux points d'un cercle de centre $O$ tels que $O \in [AB]$ ; $C$ est un autre point du cercle. Nommer : un rayon, un diamètre, une corde qui n'est pas un diamètre.
Appartient au cercle ?
★★☆$\mathcal{C}$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm. On sait que $OM = 4$ cm, $ON = 3$ cm et $OP = 5$ cm. Quels points sont sur le cercle, à l'intérieur, à l'extérieur ?
Propriété des parallèles
★★☆On sait que $(d_1) \parallel (d_2)$ et $(d_2) \parallel (d_3)$. Que peut-on dire de $(d_1)$ et $(d_3)$ ? Citer la propriété.
Deux perpendiculaires
★★☆On sait que $(AB) \perp (d)$ et $(CD) \perp (d)$. Que peut-on dire de $(AB)$ et $(CD)$ ?
Parallèle et perpendiculaire
★★☆On sait que $(EF) \parallel (GH)$ et $(d) \perp (EF)$. Que peut-on dire de $(d)$ et $(GH)$ ?
Programme de construction
★★☆Écrire les étapes pour tracer la droite perpendiculaire à $(d)$ passant par un point $A$ n'appartenant pas à $(d)$.
Tracer une parallèle
★★☆Expliquer comment tracer la parallèle à $(d)$ passant par $A$ avec une équerre et une règle.
Points alignés
★★☆$A$, $B$, $C$ sont alignés avec $AB = 5$ cm et $BC = 3$ cm. Quelles sont les valeurs possibles de $AC$ ?
Distance d'un point à une droite
★★☆Comment mesure-t-on la distance du point $A$ à la droite $(d)$ ?
Deux cercles
★★★$A$ et $B$ sont distants de $6$ cm. On trace le cercle de centre $A$ de rayon $4$ cm et le cercle de centre $B$ de rayon $4$ cm. Les deux cercles se coupent en $M$ et $N$. Que valent $AM$ et $BM$ ? Quelle est la nature du triangle $ABM$ ?
Construire un triangle au compas
★★☆Expliquer comment construire un triangle $ABC$ tel que $AB = 7$ cm, $AC = 5$ cm et $BC = 4$ cm.
Rayons égaux
★★☆$O$ est le centre d'un cercle et $A$, $B$ deux points de ce cercle. Pourquoi le triangle $OAB$ est-il isocèle ?
Médiatrice
★★★La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. $[AB]$ mesure $8$ cm et $M$ est un point de sa médiatrice. Que peut-on dire de $MA$ et $MB$ ?
Longueur d'une ligne brisée
★☆☆$A$, $B$, $C$, $D$ sont quatre points avec $AB = 3{,}2$ cm, $BC = 4{,}5$ cm, $CD = 2{,}8$ cm. Quelle est la longueur de la ligne brisée $ABCD$ ?
Rosace
★★★On trace un cercle de centre $O$ de rayon $3$ cm, puis, en partant d'un point $A$ du cercle, on reporte $6$ fois la longueur du rayon sur le cercle. Quelle figure obtient-on en reliant les $6$ points ? Quel est son périmètre ?
Vrai ou faux
★★☆Vrai ou faux ? a) Deux droites qui ne sont pas parallèles sont perpendiculaires. b) Un diamètre est une corde. c) Par un point, il passe une seule droite.
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