La symétrie axiale
Construire le symétrique d'une figure, reconnaître un axe de symétrie et utiliser les propriétés de conservation.
1. Figures symétriques
Définition · Symétrie axiale
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite $(d)$ si elles se superposent quand on plie la feuille le long de $(d)$. La droite $(d)$ est l'axe de symétrie.
Définition · Symétrique d'un point
Le symétrique du point $A$ par rapport à $(d)$ est le point $A'$ tel que $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA']$ : $(d)$ est perpendiculaire à $[AA']$ et passe par son milieu.
Si $A$ est sur $(d)$, son symétrique est lui-même.
Méthode · Construire le symétrique d'un point
- On trace la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$ ; elle coupe $(d)$ en $H$.
- On reporte au compas la longueur $AH$ de l'autre côté : $HA' = HA$.
2. Propriétés de conservation
Propriété · La symétrie conserve
- les longueurs : le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ;
- les angles : le symétrique d'un angle est un angle de même mesure ;
- l'alignement : le symétrique d'une droite est une droite ;
- les aires et les périmètres.
3. Axes de symétrie d'une figure
Définition · Axe de symétrie
Une droite est un axe de symétrie d'une figure si le symétrique de la figure par rapport à cette droite est la figure elle-même.
| Figure | Nombre d'axes |
|---|---|
| Triangle isocèle | $1$ |
| Triangle équilatéral | $3$ |
| Rectangle | $2$ |
| Losange | $2$ (ses diagonales) |
| Carré | $4$ |
| Cercle | une infinité (tous ses diamètres) |
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Exercices corrigés
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Lettres symétriques
★☆☆Parmi les lettres majuscules A, B, F, H, N, O, X, lesquelles ont au moins un axe de symétrie ?
Nombre d'axes
★☆☆Combien d'axes de symétrie ont : un carré ; un rectangle non carré ; un triangle équilatéral ; un cercle ?
Longueur conservée
★☆☆$[A'B']$ est le symétrique de $[AB]$ par rapport à $(d)$ et $AB = 6{,}3$ cm. Que vaut $A'B'$ ?
Angle conservé
★☆☆L'angle $\widehat{E'F'G'}$ est le symétrique de $\widehat{EFG} = 72°$. Que vaut $\widehat{E'F'G'}$ ?
Point sur l'axe
★☆☆Le point $M$ est sur l'axe $(d)$. Quel est son symétrique par rapport à $(d)$ ?
Distance à l'axe
★★☆$A$ est à $3{,}5$ cm de l'axe $(d)$. À quelle distance de $(d)$ se trouve son symétrique $A'$ ? Quelle est la longueur $AA'$ ?
Médiatrice
★★☆$A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$. Que représente $(d)$ pour le segment $[AA']$ ?
Symétrique d'un cercle
★★☆On trace le symétrique d'un cercle de centre $O$ et de rayon $2{,}5$ cm par rapport à une droite $(d)$. Quelle figure obtient-on ?
Périmètre et aire
★★☆Un triangle a un périmètre de $15$ cm et une aire de $9\ \text{cm}^2$. Que valent le périmètre et l'aire de son symétrique ?
Construire au compas
★★☆Expliquer comment construire le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$ en utilisant seulement le compas.
Triangle isocèle
★★☆$ABC$ est isocèle en $A$. Quel est son axe de symétrie ? Que peut-on en déduire pour les angles $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ ?
Losange
★★☆Quels sont les axes de symétrie d'un losange $ABCD$ ? Que peut-on dire de ses diagonales ?
Mots symétriques
★★☆Le mot « BEC » écrit en majuscules possède-t-il un axe de symétrie horizontal ? Et le mot « TOT » un axe vertical ?
Quadrillage
★★☆Dans un repère quadrillé, l'axe de symétrie est la droite verticale passant par l'abscisse $5$. Le point $A$ a pour coordonnées $(2 ; 3)$. Quelles sont les coordonnées de son symétrique ?
Symétrique d'une droite
★★☆Une droite $(\Delta)$ est perpendiculaire à l'axe $(d)$. Quelle est sa symétrique ?
Droite parallèle à l'axe
★★★Une droite $(\Delta)$ est parallèle à l'axe $(d)$ et située à $2$ cm de lui. Décrire sa symétrique.
Rectangle
★★☆Les diagonales d'un rectangle (non carré) sont-elles des axes de symétrie ? Justifier.
Frise
★★★Un motif est reproduit par symétries successives par rapport à des axes verticaux espacés de $3$ cm. Le premier motif occupe $3$ cm. Quelle longueur occupent $10$ motifs ?
Trouver l'axe
★★★On connaît un point $B$ et son symétrique $B'$ par rapport à une droite inconnue $(d)$. Comment retrouver $(d)$ ?
Cerf-volant
★★☆Un cerf-volant $ABCD$ est tel que $AB = AD = 5$ cm et $CB = CD = 8$ cm. Quel est son axe de symétrie ?
Vrai ou faux
★★☆a) Le symétrique d'un segment de $4$ cm peut mesurer $8$ cm. b) Un triangle quelconque a un axe de symétrie. c) Le symétrique d'un angle droit est un angle droit.
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