Le parallélogramme
Définition, propriétés des côtés, des diagonales et des angles, et parallélogrammes particuliers.
1. Définition
Définition · Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
2. Propriétés
Propriété · Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors…
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses côtés opposés ont la même longueur ;
- ses angles opposés ont la même mesure et deux angles consécutifs sont supplémentaires ;
- il a un centre de symétrie : le point d'intersection des diagonales.
3. Reconnaître un parallélogramme
Méthode · Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Il suffit de montrer une des propriétés suivantes :
- ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
- ses diagonales ont le même milieu ;
- ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux (quadrilatère non croisé) ;
- deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
4. Parallélogrammes particuliers
| Figure | Propriété en plus | Diagonales |
|---|---|---|
| Rectangle | un angle droit (donc quatre) | même longueur |
| Losange | quatre côtés de même longueur | perpendiculaires |
| Carré | rectangle et losange à la fois | même longueur et perpendiculaires |
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Exercices corrigés
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Longueurs
★☆☆$EFGH$ est un parallélogramme avec $EF = 7$ cm et $FG = 4$ cm. Donner $GH$ et $HE$, puis son périmètre.
Angles
★☆☆$ABCD$ est un parallélogramme avec $\widehat{A} = 68°$. Calculer $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ et $\widehat{D}$.
Diagonales
★☆☆Dans le parallélogramme $KLMN$, les diagonales se coupent en $O$ ; $KM = 10$ cm et $LN = 6$ cm. Calculer $KO$ et $OL$.
Diagonales de même milieu
★★☆Le quadrilatère $PQRS$ a des diagonales $[PR]$ et $[QS]$ qui ont le même milieu $I$. Quelle est sa nature ?
Côtés égaux
★★☆Un quadrilatère non croisé $ABCD$ a $AB = CD = 5$ cm et $BC = DA = 3$ cm. Est-ce un parallélogramme ?
Construire un parallélogramme
★★☆Décrire la construction du parallélogramme $ABCD$ connaissant $A$, $B$ et $C$ non alignés.
Rectangle
★★☆Un parallélogramme a un angle droit. Démontrer qu'il a quatre angles droits.
Losange
★★☆Un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur. Quelle est sa nature ? Pourquoi ?
Diagonales perpendiculaires
★★☆Un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires. Quelle est sa nature ? Et si elles sont en plus de même longueur ?
Reconnaître
★★☆Quelle est la nature du quadrilatère ?
Angle en fonction de x
★★★Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs mesurent $2x$ et $x + 30°$. Trouver $x$ et les quatre angles.
Point symétrique
★★☆$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. Quel est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ ? de $[AB]$ ?
Périmètre et côté
★★☆Un losange a un périmètre de $26$ cm. Combien mesure un côté ?
Vrai ou faux
★★☆a) Tout rectangle est un parallélogramme. b) Tout losange est un carré. c) Les diagonales d'un rectangle sont perpendiculaires.
Démonstration
★★★$ABC$ est un triangle, $I$ le milieu de $[BC]$, et $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $I$. Démontrer que $ABDC$ est un parallélogramme.
Carré ou pas ?
★★☆Un quadrilatère a quatre côtés de $5$ cm et un angle de $80°$. Est-ce un carré ?
Diagonale d'un rectangle
★☆☆Dans le rectangle $ABCD$ de centre $O$, $AC = 12$ cm. Calculer $BD$ et $OB$.
Tableau récapitulatif
★★★Quel parallélogramme particulier a : a) des diagonales de même longueur mais non perpendiculaires ? b) des diagonales perpendiculaires mais de longueurs différentes ?
Quadrillage
★★☆Dans un repère, $A(1\,;\,1)$, $B(5\,;\,1)$, $C(6\,;\,4)$. Trouver les coordonnées de $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Périmètre d'un rectangle
★☆☆Un rectangle a un périmètre de $30$ cm et une longueur de $9$ cm. Calculer sa largeur.
Diagonales d'un carré
★★☆Les diagonales d'un carré $ABCD$ de centre $O$ mesurent $8$ cm. Que valent $OA$, l'angle $\widehat{AOB}$ et la nature du triangle $AOB$ ?
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