Dérivation et variations
Taux de variation, nombre dérivé et tangente, fonction dérivée des polynômes de degré ? 3, signe de la dérivée et variations, extremums, applications (coût marginal, vitesse, santé).
1. Nombre dérivé et tangente
Définition · Taux de variation
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ : c'est la pente de la sécante passant par les points d'abscisses $a$ et $b$.
Définition · Nombre dérivé
Quand $b$ se rapproche de $a$, la sécante se rapproche de la tangente en $A(a\,;\,f(a))$. Sa pente est le nombre dérivé $f'(a)$.
Propriété · Équation de la tangente
La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Exemple
Pour $f(x) = 0{,}25x^2 + 1$ en $a = 3$ : $f(3) = 3{,}25$ et $f'(3) = 1{,}5$. Tangente : $y = 1{,}5(x - 3) + 3{,}25 = 1{,}5x - 1{,}25$.
2. Fonction dérivée
Propriété · Dérivées usuelles
| $f(x)$ | $k$ (constante) | $x$ | $x^2$ | $x^3$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $1$ | $2x$ | $3x^2$ |
On dérive une somme terme à terme et $(k \times u)' = k \times u'$. Ainsi $(4x^3 - 2x^2 + x - 7)' = 12x^2 - 4x + 1$.
3. Dérivée et variations
Propriété
- Si $f'(x) \gt 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante.
- Si $f'(x) \lt 0$ sur un intervalle, $f$ y est décroissante.
- Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $x_0$, $f$ admet un extremum en $x_0$ (tangente horizontale).
Méthode · Étudier les variations
- Calculer $f'(x)$.
- Étudier son signe (forme factorisée, tableau de signes).
- Dresser le tableau de variations et calculer les extremums.
Exemple : $f(x) = x^3 - 3x$ ; $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f$ | ? | $2$ | ? | $-2$ | ? |
4. Applications
Exemple · Coût marginal
En économie, la dérivée $C'(q)$ du coût total s'appelle le coût marginal : c'est approximativement le coût de fabrication d'une unité supplémentaire.
Exemple · Vitesse
Si $d(t)$ est la distance parcourue, $d'(t)$ est la vitesse instantanée. Pour $d(t) = 5t^2$ : $v(t) = 10t$, soit $30$ m/s à $t = 3$ s.
S'entraîner
Exercices corrigés
🎓 20 exercices corrigés et un quiz vous attendent dans ce chapitre.
Créez votre compte gratuit pour voir les corrections, faire les quiz et suivre votre progression.
Lire un nombre dérivé
★☆☆Lire $f(2)$ et $f'(2)$ sur la figure, puis donner l'équation de la tangente.
Taux de variation
★☆☆Calculer le taux de variation de $f(x) = x^2$ entre $1$ et $3$.
Dérivées usuelles
★☆☆Dériver : $f_1(x) = 5$ ; $f_2(x) = 3x$ ; $f_3(x) = x^2$ ; $f_4(x) = x^3$.
Dériver un polynôme
★☆☆Dériver $f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7$.
Dériver avec des coefficients fractionnaires
★★☆Dériver $f(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 5$ et $g(x) = 0{,}5x^2 - 0{,}2x$.
Calculer un nombre dérivé
★☆☆$f(x) = x^2 - 3x$. Calculer $f'(4)$.
Équation de tangente
★★☆Donner l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2 - 3x$ au point d'abscisse $4$.
Tangentes horizontales
★★☆En quels points la courbe de $f(x) = x^3 - 3x$ a-t-elle une tangente horizontale ?
Signe de la dérivée
★★☆$f'(x) = 2x - 6$. Donner les variations de $f$.
Tableau de variations
★★☆Dresser le tableau de variations de $f(x) = x^3 - 12x + 1$.
Recette et bénéfice
★★☆Recette $R(q) = 50q$, coût $C(q) = q^2 + 10q + 300$. Exprimer $B(q)$, calculer $B'(q)$ et trouver la production qui maximise le bénéfice.
Vitesse instantanée
★★☆Un objet tombe : $d(t) = 5t^2$ (m, $t$ en s). Calculer sa vitesse à $t = 3$ s.
Fièvre d'un patient
★★☆La température d'un patient est $T(t) = -0{,}1t^2 + 0{,}8t + 37{,}5$ (°C) pour $t \in [0\,;\,8]$ heures. Quand la fièvre est-elle maximale ? Quelle température atteint-elle ?
Du sens de variation au signe
★☆☆$f$ est croissante sur $[0\,;\,5]$ puis décroissante sur $[5\,;\,9]$. Que dire du signe de $f'$ ? De $f'(5)$ ?
Extremums
★★☆Trouver les extremums locaux de $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$.
Trouver un coefficient
★★★$f(x) = ax^2 + 2x$. Déterminer $a$ pour que la tangente au point d'abscisse $1$ ait une pente de $6$.
Coût marginal minimal
★★★$C(q) = q^3 - 30q^2 + 300q + 500$. Montrer que $C'(q) = 3(q - 10)^2$. Le coût total est-il croissant ? Pour quelle production le coût marginal est-il le plus faible ?
Approximation par la tangente
★★★Donner la tangente à $f(x) = x^2$ en $3$ et en déduire une valeur approchée de $3{,}1^2$.
Boîte de volume maximal
★★★Dans un carton carré de $30$ cm, on découpe un carré de côté $x$ à chaque coin pour former une boîte. Son volume est $V(x) = x(30 - 2x)^2$. Montrer que $V'(x) = (30 - 2x)(30 - 6x)$ et trouver le volume maximal.
Vrai ou faux
★★☆a) La dérivée de $x^3$ est $3x^2$. b) Si $f'(2) = 0$, $f$ admet forcément un extremum en $2$. c) $f'(a)$ est la pente de la tangente en $a$.
Vérifier
Avez-vous bien compris ?
Répondez au quiz : la correction s'affiche immédiatement.