Fonctions du second degré et dérivation
Fonctions x ? ax² et ax² + bx + c, parabole et sommet, forme factorisée a(x ? x?)(x ? x?), racines, signe, résolution graphique, dérivée d'un trinôme.
1. Fonctions polynômes du second degré
Définition
Une fonction polynôme du second degré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole. Le cas le plus simple est $x \mapsto ax^2$, dont la parabole a pour sommet l'origine.
Propriété · Sommet
Le sommet de la parabole a pour abscisse $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et pour ordonnée $\beta = f(\alpha)$. La droite $x = \alpha$ est l'axe de symétrie. Si $a \gt 0$, $\beta$ est le minimum de $f$ ; si $a \lt 0$, c'est son maximum.
Exemple
$f(x) = x^2 - 6x + 5$ : $\alpha = -\dfrac{-6}{2} = 3$ et $\beta = 9 - 18 + 5 = -4$. Le sommet est $S(3\,;\,-4)$ et $f$ admet un minimum $-4$.
2. Forme factorisée et racines
Définition
Lorsque $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, les nombres $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $f$ : ce sont les solutions de $f(x) = 0$, abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.
Propriété
L'axe de symétrie passe au milieu des racines : $\alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.
Propriété · Signe
$a(x - x_1)(x - x_2)$ (avec $x_1 \lt x_2$) est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.
| $x$ | $-\infty \quad x_1$ | $x_1 \quad x_2$ | $x_2 \quad +\infty$ |
|---|---|---|---|
| signe de $f(x)$ | signe de $a$ | signe de $-a$ | signe de $a$ |
Exemple · Résolution graphique
$f(x) = -(x + 1)(x - 3)$ : racines $-1$ et $3$, $a = -1 \lt 0$. Donc $f(x) \geq 0$ entre les racines : $S = [-1\,;\,3]$. Le sommet a pour abscisse $1$ et $f(1) = 4$.
Méthode · Résoudre f(x) = g(x) ou f(x) ? g(x) graphiquement
Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes ; celles de $f(x) \leq g(x)$ sont les abscisses des points où $C_f$ est en dessous de $C_g$.
3. Dérivée d'un trinôme
Propriété
La dérivée de $f(x) = ax^2 + bx + c$ est $f'(x) = 2ax + b$. Elle s'annule pour $x = -\dfrac{b}{2a}$ : on retrouve l'abscisse du sommet, où la tangente est horizontale.
Exemple · Concentration d'un médicament
$C(t) = -0{,}5t(t - 8)$ (en mg/L, $t$ en heures). $C'(t) = -t + 4$ s'annule en $t = 4$ : la concentration est maximale au bout de $4$ h et vaut $C(4) = 8$ mg/L.
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Exercices corrigés
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Sommet d'une parabole
★☆☆Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole de $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$.
Dériver
★★☆Calculer la dérivée de $g(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ et en déduire les valeurs de $x$ où la tangente est horizontale.
Fréquence cardiaque
★★★Pendant un effort, la fréquence cardiaque (battements/min) est modélisée par $F(t) = -2t^2 + 24t + 70$ pour $t \in [0\,;\,12]$ min. Quand est-elle maximale ? Quelle est sa valeur ?
Lire une parabole
★☆☆Par lecture graphique, donner les racines de $f$, les coordonnées du sommet et le signe de $a$.
Orientation d'une parabole
★☆☆Les paraboles de $f(x) = 3x^2 - x$, $g(x) = -0{,}5x^2 + 4$ et $h(x) = 7 - 2x^2$ sont-elles tournées vers le haut ou vers le bas ?
Calculer le sommet
★☆☆Déterminer le sommet de la parabole de $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Est-ce un minimum ou un maximum ?
Racines d'une forme factorisée
★☆☆Donner les racines de $f(x) = 2(x - 3)(x + 4)$ et l'équation de l'axe de symétrie.
Développer une forme factorisée
★☆☆Développer $f(x) = 2(x - 3)(x + 4)$.
Tableau de signes
★★☆Dresser le tableau de signes de $f(x) = -3(x - 1)(x - 6)$.
Résoudre une inéquation
★★☆Résoudre $(x - 2)(x + 5) \lt 0$.
Retrouver le coefficient a
★★☆Une parabole coupe l'axe des abscisses en $-1$ et $3$ et passe par $(0\,;\,6)$. Déterminer sa fonction sous forme factorisée.
Racine évidente
★★★Vérifier que $2$ est racine de $f(x) = x^2 - 5x + 6$, puis montrer que $f(x) = (x - 2)(x - 3)$.
Trajectoire d'un ballon
★★☆La hauteur (en m) d'un ballon est $h(x) = -0{,}05x(x - 40)$, où $x$ est la distance horizontale. Où retombe-t-il ? Quelle hauteur maximale atteint-il ?
Production rentable
★★☆Le bénéfice d'un atelier est $B(q) = -2(q - 10)(q - 90)$ euros pour $q$ objets. Pour quelles quantités est-il positif ? Quel est le bénéfice maximal ?
Aire maximale
★★★Un enclos rectangulaire a un périmètre de $40$ m. On note $x$ sa largeur. Montrer que son aire vaut $A(x) = x(20 - x)$ et trouver l'aire maximale.
La fonction x ? ax²
★☆☆$f(x) = 0{,}5x^2$. Calculer $f(4)$ et trouver les antécédents de $18$.
Dérivée d'un trinôme
★☆☆Calculer la dérivée de $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Pour quelle valeur s'annule-t-elle ?
Variations par la dérivée
★★☆Étudier les variations de $f(x) = -x^2 + 8x - 3$ à l'aide de sa dérivée.
Parabole et droite
★★☆Résoudre graphiquement $f(x) = x + 1$ puis $f(x) \leq x + 1$. Vérifier par le calcul.
Pic de concentration
★★☆$C(t) = -0{,}5t(t - 8)$ mg/L pour $t \in [0\,;\,8]$ (heures). a) Quand la concentration est-elle maximale ? b) Le médicament est efficace si $C(t) \geq 6$ : montrer que cela équivaut à $(t - 2)(t - 6) \leq 0$ et conclure.
Seuil de rentabilité
★★☆Recette $R(q) = 40q$, coût $C(q) = q^2 + 10q + 125$. Montrer que le bénéfice vaut $B(q) = -(q - 5)(q - 25)$ et donner la zone de rentabilité.
Axe de symétrie
★☆☆Une parabole vérifie $f(1) = f(7)$. Quelle est l'abscisse de son sommet ?
Vrai ou faux
★★☆a) La parabole de $-2x^2 + x$ est tournée vers le bas. b) $(x - 1)(x + 3)$ a pour racines $1$ et $3$. c) $3(x - 1)(x - 5)$ est négatif entre $1$ et $5$.
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