Orthogonalité et distances dans l'espace
Produit scalaire dans l'espace, norme, orthogonalité, vecteur normal et équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan, intersections.
1. Produit scalaire dans l'espace
Propriété
Dans un repère orthonormé, pour $\vec{u}(x\,;\,y\,;\,z)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y'\,;\,z')$ : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ Et $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\vec{u}, \vec{v})$. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
2. Plans et vecteurs normaux
Définition
Un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à un plan $\mathcal{P}$ s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $\mathcal{P}$ (donc à toutes ses droites).
Propriété · Équation cartésienne
Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ ; il a une équation de la forme $$ax + by + cz + d = 0$$ Réciproquement, une telle équation définit un plan de vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)$.
Propriété · Positions de plans
Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal.
3. Projeté orthogonal et distance
Méthode · Projeté d'un point sur un plan
- Écrire la droite passant par $A$ dirigée par $\vec{n}$ : $M(t) = A + t\vec{n}$.
- Trouver $t$ tel que $M(t)$ vérifie l'équation du plan : c'est $H$.
- La distance de $A$ au plan est $AH$.
On retient aussi : $d(A, \mathcal{P}) = \dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Exemple
$\mathcal{P}$ : $x + y + z - 3 = 0$ et $A(2\,;\,2\,;\,2)$. $M(t) = (2 + t\,;\,2 + t\,;\,2 + t)$ est dans $\mathcal{P}$ si $6 + 3t - 3 = 0$, $t = -1$ : $H(1\,;\,1\,;\,1)$ et $AH = \sqrt{3}$.
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Exercices corrigés
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Calculer un produit scalaire
★☆☆Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,-1)$ et $\vec{v}(3\,;\,0\,;\,2)$.
Norme d'un vecteur
★☆☆Calculer la norme de $\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,2)$.
Vecteurs orthogonaux
★☆☆$\vec{u}(1\,;\,2\,;\,3)$ et $\vec{v}(3\,;\,0\,;\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?
Angle de deux vecteurs
★★☆Calculer l'angle entre $\vec{u}(1\,;\,1\,;\,0)$ et $\vec{v}(1\,;\,0\,;\,1)$.
Lire un vecteur normal
★☆☆Donner un vecteur normal au plan $2x - y + 3z - 4 = 0$. Le point $(1\,;\,1\,;\,1)$ est-il dans ce plan ?
Équation d'un plan
★★☆Équation du plan passant par $A(1\,;\,0\,;\,2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1\,;\,-1\,;\,2)$.
Appartenance à un plan
★☆☆Les points $B(5\,;\,0\,;\,0)$ et $C(0\,;\,0\,;\,3)$ appartiennent-ils au plan $x - y + 2z - 5 = 0$ ?
Plans parallèles ou perpendiculaires
★★☆$\mathcal{P}_1$ : $x + 2y - z = 1$, $\mathcal{P}_2$ : $2x + 4y - 2z = 7$, $\mathcal{P}_3$ : $x - y - z = 0$. Positions relatives ?
Droite orthogonale à un plan
★★☆Représentation paramétrique de la droite passant par $A(1\,;\,1\,;\,1)$ et orthogonale au plan $2x - y + z = 0$.
Projeté sur un plan
★★★Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $A(3\,;\,1\,;\,0)$ sur le plan $x - y + z - 1 = 0$, puis la distance $AH$.
Distance point-plan
★★☆Distance de $A(1\,;\,2\,;\,3)$ au plan $2x - y + 2z + 1 = 0$.
Plan médiateur
★★★Équation du plan médiateur de $[AB]$ avec $A(1\,;\,0\,;\,0)$ et $B(3\,;\,2\,;\,0)$.
Intersection d'une droite et d'un plan
★★☆$d$ : $(t\,;\,1 + t\,;\,2 - t)$ et $\mathcal{P}$ : $x + y + z = 6$. Point d'intersection ?
Diagonales orthogonales dans le cube
★★☆Dans le cube unité de la figure du chapitre précédent, montrer que $(AG) \perp (BD)$.
Volume d'un tétraèdre
★★★$O(0\,;\,0\,;\,0)$, $A(3\,;\,0\,;\,0)$, $B(0\,;\,3\,;\,0)$, $C(0\,;\,0\,;\,3)$. Calculer le volume de $OABC$ de deux façons : base $OAB$ et hauteur $OC$, puis base $ABC$ et distance de $O$ au plan $(ABC)$ d'équation $x + y + z = 3$.
Projeté sur une droite
★★★Projeté orthogonal de $A(1\,;\,2\,;\,3)$ sur la droite $d$ : $(t\,;\,t\,;\,0)$. Distance de $A$ à $d$ ?
Angle dans un cube
★★☆Calculer l'angle entre la diagonale $[AG]$ et l'arête $[AB]$ du cube unité.
Trouver un vecteur normal
★★★Un plan contient les vecteurs $\vec{u}(1\,;\,0\,;\,1)$ et $\vec{v}(0\,;\,1\,;\,-1)$. Trouver un vecteur normal.
Plan par trois points
★★★Équation du plan passant par $A(1\,;\,0\,;\,0)$, $B(0\,;\,2\,;\,0)$ et $C(0\,;\,0\,;\,3)$.
Vrai ou faux
★★☆a) $\vec{n}(1\,;\,2\,;\,3)$ est normal au plan $x + 2y + 3z = 7$. b) Deux plans de vecteurs normaux orthogonaux sont parallèles. c) $H$ est le point du plan le plus proche de $A$.
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