Géométrie dans l'espace
Vecteurs de l'espace, colinéarité, coplanarité, bases et repères, coordonnées, représentation paramétrique d'une droite, positions relatives de droites et de plans.
1. Vecteurs de l'espace
Définition
Les notions de vecteur, de somme (relation de Chasles) et de produit par un réel s'étendent à l'espace. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si l'un est multiple de l'autre. Trois vecteurs sont coplanaires si l'un s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres.
Propriété · Bases et repères
Trois vecteurs non coplanaires $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ forment une base : tout vecteur s'écrit de façon unique $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Avec une origine $O$, on obtient un repère $(O\,;\,\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ et chaque point a trois coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$.
Propriété · Calculs en coordonnées
$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A)$ ; milieu $I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$. Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
2. Droites de l'espace
Propriété · Représentation paramétrique
La droite passant par $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a\,;\,b\,;\,c)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$ : $$\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$
Propriété · Positions relatives
- Deux droites sont coplanaires (parallèles ou sécantes) ou non coplanaires. Pour le savoir, on compare les vecteurs directeurs puis on cherche un point commun en résolvant un système.
- Une droite et un plan sont sécants, ou parallèles (droite incluse ou disjointe).
- Deux plans sont sécants (selon une droite) ou parallèles.
Attention
Dans l'espace, deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles : dans le cube, $(AB)$ et $(EH)$ ne sont ni parallèles ni sécantes.
S'entraîner
Exercices corrigés
🎓 20 exercices corrigés et un quiz vous attendent dans ce chapitre.
Créez votre compte gratuit pour voir les corrections, faire les quiz et suivre votre progression.
Représentation paramétrique
★☆☆Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ avec $A(1\,;\,0\,;\,2)$ et $B(3\,;\,-1\,;\,5)$.
Équation de plan
★★☆Déterminer une équation du plan passant par $A(1\,;\,2\,;\,-1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2\,;\,-1\,;\,3)$.
Intersection
★★★Déterminer l'intersection de la droite $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases}$ avec le plan $x + y + z - 6 = 0$.
Coordonnées dans le cube
★☆☆Dans le repère de la figure du cours, donner les coordonnées de $C$, $F$, $H$ et du centre du cube.
Relation de Chasles
★☆☆Dans le cube, simplifier $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}$.
Vecteurs colinéaires
★☆☆$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,3)$ et $\vec{v}(-4\,;\,2\,;\,-6)$ sont-ils colinéaires ?
Points alignés
★★☆$A(1\,;\,2\,;\,0)$, $B(3\,;\,3\,;\,1)$, $C(7\,;\,5\,;\,3)$ sont-ils alignés ?
Milieu
★☆☆Coordonnées du milieu de $[AB]$ avec $A(2\,;\,-1\,;\,4)$ et $B(0\,;\,3\,;\,-2)$.
Vecteurs coplanaires
★★☆$\vec{u}(1\,;\,0\,;\,1)$, $\vec{v}(0\,;\,1\,;\,1)$, $\vec{w}(1\,;\,1\,;\,2)$ sont-ils coplanaires ?
Droite passant par deux points
★★☆Donner une représentation paramétrique de $(AB)$ avec $A(1\,;\,0\,;\,2)$ et $B(3\,;\,1\,;\,0)$.
Un point est-il sur la droite ?
★★☆Avec la droite précédente, les points $M(5\,;\,2\,;\,-2)$ et $N(2\,;\,1\,;\,1)$ lui appartiennent-ils ?
Droites non coplanaires
★★★$d_1$ : $(1 + t\,;\,t\,;\,0)$ et $d_2$ : $(s\,;\,1 - s\,;\,1 + s)$. Ces droites sont-elles parallèles ? sécantes ?
Section d'un cube
★★☆Dans le cube, quelle est la nature de la section par le plan $(ACG)$ ?
Vérifier une base
★★☆$\vec{a}(1\,;\,0\,;\,0)$, $\vec{b}(1\,;\,1\,;\,0)$, $\vec{c}(1\,;\,1\,;\,1)$ forment-ils une base ?
Décomposer un vecteur
★★☆Décomposer $\vec{w}(3\,;\,2\,;\,1)$ dans la base précédente.
Droites dans un cube
★☆☆Dans le cube, les droites $(AE)$ et $(CG)$ sont-elles parallèles ? Et $(AB)$ et $(EH)$ ?
Théorème du toit
★★☆Deux plans sécants contiennent chacun une droite parallèle à une droite $\Delta$. Que dire de leur droite d'intersection ?
Trajectoires de deux drones
★★★Drone A : $(1 + t\,;\,2t\,;\,3)$ ; drone B : $(3 - s\,;\,s + 2\,;\,3)$, $t$ et $s$ en secondes. Les trajectoires se croisent-elles ? Les drones se percutent-ils ?
Pavé droit
★☆☆Un pavé a pour sommets opposés $O(0\,;\,0\,;\,0)$ et $P(4\,;\,2\,;\,3)$. Coordonnées de son centre ?
Vrai ou faux
★★☆a) Deux droites non sécantes sont parallèles. b) Trois points sont toujours coplanaires. c) Une droite a une infinité de représentations paramétriques.
Vérifier
Avez-vous bien compris ?
Répondez au quiz : la correction s'affiche immédiatement.