Sommes de variables aléatoires et concentration
Espérance et variance de aX + b et d'une somme de variables indépendantes, échantillon et moyenne, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration et loi des grands nombres.
1. Opérations sur les variables aléatoires
Propriété · Transformation affine
$E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2V(X)$, donc $\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$.
Propriété · Somme
Pour toutes variables $X$ et $Y$ : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$.
Exemple · Loi binomiale
Une variable $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, d'espérance $p$ et de variance $p(1 - p)$ : on retrouve $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$.
2. Échantillon et moyenne
Définition
Un échantillon de taille $n$ d'une loi est une liste $(X_1, \dots, X_n)$ de variables indépendantes suivant cette loi (d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$). Sa moyenne $M_n = \dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ vérifie $E(M_n) = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$, soit $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
3. Inégalités et loi des grands nombres
Propriété · Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Pour tout $\delta \gt 0$ : $$P\big(|X - E(X)| \geq \delta\big) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2}$$
Propriété · Inégalité de concentration
Pour la moyenne d'un échantillon de taille $n$ : $$P\big(|M_n - \mu| \geq \delta\big) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$$
Propriété · Loi des grands nombres
Pour tout $\delta \gt 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} P\big(|M_n - \mu| \geq \delta\big) = 0$ : la moyenne d'un grand échantillon est très probablement proche de $\mu$. C'est ce qui justifie l'estimation d'une probabilité par une fréquence observée.
Attention
Ces inégalités sont souvent grossières (la vraie probabilité est généralement bien plus petite), mais elles sont valables pour toute loi.
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Exercices corrigés
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Espérance d'une transformée
★☆☆$E(X) = 3$. Calculer $E(2X + 5)$ et $E(-X)$.
Variance d'une transformée
★☆☆$V(X) = 4$. Calculer $V(-3X + 1)$ et $\sigma(-3X + 1)$.
Somme de deux dés
★★☆Pour un dé, $E = 3{,}5$ et $V = \dfrac{35}{12}$. Calculer l'espérance et la variance de la somme de deux dés indépendants.
Gain sur dix parties
★★☆Le gain d'une partie a pour espérance $-0{,}5$ €. Espérance du gain total sur $10$ parties ?
Retrouver E et V de la binomiale
★★☆Expliquer pourquoi $V(X) = np(1 - p)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$.
Variance d'une Bernoulli
★☆☆$X$ vaut $1$ avec la probabilité $p$, $0$ sinon. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
Moyenne d'un échantillon
★★☆Une loi a pour espérance $50$ et écart type $10$. Pour un échantillon de taille $100$, donner l'espérance et l'écart type de la moyenne.
Appliquer Bienaymé-Tchebychev
★★☆$E(X) = 20$, $V(X) = 4$. Majorer $P(|X - 20| \geq 5)$.
Minorer une probabilité
★★☆Avec l'exercice précédent, minorer $P(15 \lt X \lt 25)$.
Inégalité grossière
★★★$X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)$. Majorer $P(|X - 50| \geq 10)$ par Bienaymé-Tchebychev, et comparer à la valeur donnée par la calculatrice (environ $0{,}057$).
Inégalité de concentration
★★☆$\sigma^2 = 4$, $n = 400$, $\delta = 0{,}5$. Majorer $P(|M_n - \mu| \geq 0{,}5)$.
Taille d'un sondage
★★★On estime une proportion $p$ par la fréquence $M_n$ d'un échantillon ($\sigma^2 = p(1 - p) \leq 0{,}25$). Quelle taille $n$ garantit $P(|M_n - p| \geq 0{,}05) \leq 0{,}05$ ?
Interpréter un sondage
★★☆Pourquoi un sondage sur $2\,000$ personnes est-il plus fiable qu'un sondage sur $200$ personnes ?
Fréquence et probabilité
★☆☆On lance $10\,000$ fois un dé et l'on obtient $1\,689$ fois « 6 ». Quel résultat justifie que $0{,}1689$ est proche de $\dfrac{1}{6}$ ?
Simulation en Python
★★☆Que calcule cette fonction ? Que constate-t-on quand $n$ devient grand ?
from random import randint
def moyenne(n):
s = 0
for k in range(n):
s = s + randint(1, 6)
return s / nIndépendance indispensable
★★☆Comparer $V(X + X)$ et $V(X) + V(X)$. Pourquoi la formule d'additivité ne s'applique-t-elle pas ?
Durée totale de trois tâches
★★☆Trois tâches indépendantes durent en moyenne $10$, $15$ et $20$ min, avec des écarts types $2$, $3$ et $6$ min. Espérance et écart type de la durée totale ?
Portefeuille d'assurance
★★★Un contrat rapporte en moyenne $15$ € à l'assureur, avec un écart type de $200$ €. Pour $1\,000$ contrats indépendants, espérance et écart type du gain total ?
Écart type de la moyenne
★☆☆Par combien l'écart type de la moyenne est-il divisé quand on multiplie la taille de l'échantillon par $4$ ?
Vrai ou faux
★★☆a) $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ toujours. b) $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ toujours. c) $V(3X) = 3V(X)$.
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