Loi binomiale
Épreuve et schéma de Bernoulli, loi binomiale B(n ; p), calcul de probabilités, espérance, variance, écart type, probabilité d'« au moins un », seuils et prise de décision.
1. Schéma de Bernoulli
Définition
Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité $p$) et échec ($1 - p$). Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. La variable $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$.
Propriété · Probabilités
Pour $k$ entier de $0$ à $n$ : $$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$ $\dbinom{n}{k}$ compte les chemins de l'arbre qui comportent exactement $k$ succès.
2. Espérance, variance
Propriété
Si $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ : $E(X) = np$, $V(X) = np(1 - p)$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$.
Exemple
On lance $50$ fois un dé : le nombre de « 6 » suit $\mathcal{B}(50\,;\,\frac{1}{6})$ ; on en attend en moyenne $E(X) = \dfrac{50}{6} \approx 8{,}3$.
3. Méthodes
Méthode · « Au moins un »
$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$.
Méthode · Calculatrice
On utilise binomFdp(n, p, k) pour $P(X = k)$ et binomFRép(n, p, k) pour $P(X \leq k)$ ; $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$.
Attention
Vérifier les trois conditions avant d'utiliser la loi binomiale : deux issues, épreuves identiques ($p$ constant), indépendance (tirages avec remise ou population très grande).
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Exercices corrigés
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Reconnaître la loi
★☆☆On lance 6 fois un dé équilibré. $X$ compte le nombre de 6 obtenus. Quelle est la loi de $X$ ? Calculer $P(X = 2)$.
Au moins un
★★☆Un composant est défectueux avec une probabilité $0{,}02$. On en prélève $50$ (tirages assimilés à des tirages avec remise). Probabilité d'avoir au moins un composant défectueux ?
Espérance et seuil
★★★Un QCM compte $20$ questions à $4$ choix. Un élève répond au hasard. Calculer l'espérance du nombre de bonnes réponses. Combien de questions faudrait-il pour que la probabilité d'avoir au moins une bonne réponse dépasse $0{,}999$ ?
Identifier un schéma de Bernoulli
★☆☆On tire $5$ fois avec remise une boule dans une urne contenant $3$ rouges et $7$ noires ; $X$ compte les rouges. Quelle est la loi de $X$ ?
Calculer P(X = k)
★☆☆$X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}2)$. Calculer $P(X = 2)$.
Arbre à trois épreuves
★★☆Trois épreuves indépendantes de succès $p = 0{,}4$. Avec un arbre, calculer la probabilité d'exactement $2$ succès.
Probabilité cumulée
★★☆$X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$. Calculer $P(X \leq 1)$.
Espérance et écart type
★☆☆$X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}1)$. Calculer $E(X)$, $V(X)$, $\sigma(X)$.
QCM au hasard
★★☆Un QCM a $10$ questions à $4$ réponses dont une seule juste. Un élève répond au hasard. Probabilité d'avoir au moins $5$ bonnes réponses ?
Série de tirs au but
★★☆Un joueur réussit un penalty avec la probabilité $0{,}8$. Il en tire $5$. Probabilité de tout réussir ? D'en réussir au moins $4$ ?
Contrôle de production
★★☆$3\,\%$ des pièces sont défectueuses. On en prélève $20$ (production assez grande pour assimiler à un tirage avec remise). Probabilité qu'aucune ne soit défectueuse ? qu'au moins une le soit ?
Combien de pièces contrôler ?
★★★Combien de pièces faut-il contrôler pour que la probabilité de trouver au moins une pièce défectueuse dépasse $0{,}9$ ?
Lire un diagramme en bâtons
★☆☆Sur le diagramme du cours, quelle est la valeur la plus probable de $X$ ? Lire $P(X = 3)$.
Jeu équitable ?
★★☆On paie $5$ € pour lancer $10$ fois un dé ; chaque « 6 » rapporte $3$ €. Calculer l'espérance du gain net.
Retrouver n et p
★★★$X$ suit une loi binomiale avec $E(X) = 12$ et $V(X) = 4{,}8$. Trouver $n$ et $p$.
Efficacité d'un vaccin
★★☆Un vaccin protège $90\,\%$ des personnes. Sur $100$ vaccinés exposés, combien seront protégés en moyenne ? Quel est l'écart type ?
Pièce truquée ?
★★★Une pièce donne $62$ « pile » sur $100$ lancers. En considérant l'intervalle $[np - 2\sigma\,;\,np + 2\sigma]$, peut-on douter qu'elle soit équilibrée ?
Symétrie pour p = 0,5
★☆☆$X \sim \mathcal{B}(8\,;\,0{,}5)$. Comparer $P(X = 2)$ et $P(X = 6)$.
Naissances
★★☆On suppose $P(\text{fille}) = 0{,}49$. Dans une famille de $4$ enfants, probabilité d'avoir exactement $2$ filles ?
Vrai ou faux
★★☆a) Si $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$, $E(X) = np$. b) Des tirages sans remise dans une petite urne suivent une loi binomiale. c) $P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n$.
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