Automatismes
Automatismes de Terminale : calculs avec exponentielle et logarithme, limites usuelles, dérivées et primitives, intégrales simples, suites, probabilités et loi binomiale, géométrie dans l'espace.
Méthode · Comment travailler les automatismes
Ces questions se traitent sans calculatrice et en moins d'une minute chacune, comme dans la partie « automatismes » des épreuves. Entraînez-vous par séries courtes et régulières ; repérez vos erreurs récurrentes.
1. Exponentielle et logarithme
Propriété
$e^{a+b} = e^ae^b$ ; $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $e^{\ln a} = a$ ; $\ln(e^x) = x$.
2. Analyse
Propriété
Dérivées : $(e^u)' = u'e^u$, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, $(u^n)' = nu'u^{n-1}$. Primitives : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, $\dfrac{1}{x} \to \ln x$, $e^{ax} \to \dfrac{e^{ax}}{a}$. Croissances comparées.
3. Probabilités et géométrie
Propriété
Loi binomiale : $E = np$, $V = np(1 - p)$. Produit scalaire dans l'espace : $xx' + yy' + zz'$. Vecteur normal au plan $ax + by + cz + d = 0$ : $(a\,;\,b\,;\,c)$.
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Exercices corrigés
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Série 1 : exponentielle
★☆☆Simplifier : a) $e^{3} \times e^{-1}$ ; b) $\dfrac{e^{2x}}{e^x}$ ; c) $(e^{-x})^2$ ; d) $e^{\ln 5}$.
Série 2 : logarithme
★☆☆Simplifier : a) $\ln 8 - \ln 2$ ; b) $\ln(e^3)$ ; c) $2\ln 3$ ; d) $\ln\dfrac{1}{e}$.
Série 3 : équations
★☆☆Résoudre : a) $e^x = 3$ ; b) $\ln x = 2$ ; c) $e^{2x - 1} = 1$ ; d) $\ln(x - 1) = 0$.
Série 4 : limites usuelles
★☆☆a) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x}$ ; b) $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x$ ; c) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}$ ; d) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$.
Série 5 : limites de suites
★☆☆a) $\lim 0{,}5^n$ ; b) $\lim 2^n$ ; c) $\lim \dfrac{3n + 1}{n}$ ; d) $\lim \left(5 - \dfrac{1}{n}\right)$.
Série 6 : dérivées
★☆☆Dériver : a) $e^{3x}$ ; b) $\ln(2x + 1)$ ; c) $(x^2 + 1)^3$ ; d) $x e^x$.
Série 7 : primitives
★☆☆Une primitive de : a) $3x^2$ ; b) $\dfrac{1}{x}$ ($x \gt 0$) ; c) $e^{2x}$ ; d) $2xe^{x^2}$.
Série 8 : intégrales
★☆☆a) $\displaystyle\int_0^1 2x\,dx$ ; b) $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$ ; c) $\displaystyle\int_0^2 3\,dx$ ; d) $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$.
Série 9 : convexité
★★☆a) $f''(x) = 6x$ : où $f$ est-elle convexe ? b) $\exp$ est-elle convexe ? c) $\ln$ est-elle concave ?
Série 10 : équations différentielles
★★☆Solutions de : a) $y' = 2y$ ; b) $y' = -y + 3$ ; c) solution de $y' = 2y$ avec $y(0) = 5$.
Série 11 : suites
★☆☆a) $u_n = 2 \times 3^n$ : $u_4$ ; b) $1 + 2 + \dots + 50$ ; c) $1 + 2 + 4 + \dots + 2^9$.
Série 12 : dénombrement
★☆☆a) $5!$ ; b) $\dbinom{6}{2}$ ; c) nombre de codes à $3$ chiffres ; d) nombre de podiums parmi $8$ coureurs.
Série 13 : loi binomiale
★☆☆$X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. a) $E(X)$ ; b) $V(X)$ ; c) $P(X = 0)$ en écriture puissance.
Série 14 : probabilités
★☆☆$P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$, $A$ et $B$ indépendants. a) $P(A \cap B)$ ; b) $P(\overline{A})$ ; c) $P(A \cup B)$.
Série 15 : espérance et variance
★★☆$E(X) = 4$, $V(X) = 9$. a) $E(2X - 1)$ ; b) $V(2X - 1)$ ; c) $\sigma(2X - 1)$.
Série 16 : vecteurs de l'espace
★☆☆$\vec{u}(1\,;\,2\,;\,-1)$, $\vec{v}(3\,;\,0\,;\,3)$. a) $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ; b) $\|\vec{v}\|$ ; c) orthogonaux ?
Série 17 : plans
★☆☆Plan $2x - y + z - 3 = 0$. a) Vecteur normal ; b) $A(1\,;\,0\,;\,1)$ appartient-il au plan ? c) un plan parallèle passant par l'origine.
Série 18 : signe et variations
★★☆$f'(x) = (x - 1)e^x$. Signe de $f'$ ? Variations de $f$ ?
Série 19 : seuils avec ln
★★☆a) $0{,}9^n \lt 0{,}5$ : plus petit $n$ (avec $\ln 0{,}5 \approx -0{,}69$, $\ln 0{,}9 \approx -0{,}105$) ; b) $2^n \gt 1\,000$.
Série 20 : questions express
★★☆a) $\ln 1$ ; b) $e^0$ ; c) $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ ; d) valeur moyenne de $x \mapsto x$ sur $[0\,;\,4]$.
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