Suites : récurrence et limites
Raisonnement par récurrence, limite finie ou infinie d'une suite, opérations, comparaison et gendarmes, suites monotones bornées, suites géométriques, suites u(n+1) = f(u(n)).
1. Le raisonnement par récurrence
Propriété · Principe
Pour démontrer qu'une propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ :
- Initialisation : on vérifie $\mathcal{P}(n_0)$.
- Hérédité : on suppose $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n \geq n_0$ quelconque (hypothèse de récurrence) et on démontre $\mathcal{P}(n + 1)$.
- Conclusion : $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.
C'est le principe des dominos : le premier tombe, et chaque domino qui tombe fait tomber le suivant.
Exemple
Montrons que $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ pour $n \geq 1$. Initialisation : $1 = 1^2$. Hérédité : si $1 + \dots + (2n - 1) = n^2$, alors en ajoutant $2n + 1$ : $n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$. La propriété est vraie pour tout $n \geq 1$.
2. Limite d'une suite
Définition
- $(u_n)$ converge vers $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
- $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $]A\,;\,+\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
- Une suite qui ne converge pas est dite divergente (elle peut tendre vers $\pm\infty$ ou n'avoir pas de limite, comme $(-1)^n$).
Propriété · Limites usuelles et opérations
$n$, $n^2$, $\sqrt{n}$ tendent vers $+\infty$ ; $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$, $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ tendent vers $0$. On combine par somme, produit et quotient, sauf dans les formes indéterminées $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$, que l'on lève en factorisant par le terme dominant.
Propriété · Suites géométriques
Si $q \gt 1$, $q^n \to +\infty$ ; si $-1 \lt q \lt 1$, $q^n \to 0$ ; si $q = 1$, $q^n = 1$ ; si $q \leq -1$, $(q^n)$ n'a pas de limite.
Propriété · Comparaison et gendarmes
- Si $u_n \geq v_n$ à partir d'un certain rang et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$.
- Théorème des gendarmes : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et si $(v_n)$, $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $u_n \to \ell$.
Propriété · Suites monotones
Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
3. Suites définies par u(n+1) = f(u(n))
Propriété · Point fixe
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell = f(\ell)$ : la limite est un point fixe de $f$.
Méthode · Étude complète
Pour $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 2$ : on montre par récurrence que $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 4$. La suite est croissante et majorée par $4$, donc converge vers $\ell$ avec $\ell = 0{,}5\ell + 2$, soit $\ell = 4$.
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Exercices corrigés
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Somme des nombres impairs
★★☆Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 1$, $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$.
Récurrence et inégalité
★★☆Démontrer que pour tout entier $n \geq 0$, $2^n \geq n + 1$.
Majorer par récurrence
★★☆$u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 2$. Montrer que $u_n \leq 4$ pour tout $n$.
Monotonie par récurrence
★★★Avec la même suite, montrer que $u_n \leq u_{n+1}$ pour tout $n$.
Divisibilité
★★★Montrer que pour tout $n \geq 0$, $4^n - 1$ est divisible par $3$.
Limites usuelles
★☆☆Donner les limites de $n^2$, $\dfrac{3}{n}$, $\sqrt{n} + 5$ et $\dfrac{(-1)^n}{n}$.
Lever une indétermination
★☆☆Déterminer la limite de $u_n = n^2 - 3n$.
Quotient de polynômes
★★☆Déterminer la limite de $u_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + 3n}$.
Limites géométriques
★☆☆Limites de $0{,}8^n$, $1{,}5^n$, $3 \times (-0{,}5)^n$ et $5 - 2 \times 1{,}1^n$.
Somme infinie
★★☆Calculer $S_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{2^n}$ puis sa limite.
Appliquer les gendarmes
★★☆Déterminer la limite de $u_n = \dfrac{\sin n}{n}$.
Théorème de comparaison
★★☆On sait que $u_n \geq n^2 - 10$ pour tout $n$. Que dire de la limite de $(u_n)$ ?
Croissante et majorée
★★☆Avec les exercices 3 et 4, justifier que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Point fixe avec une racine
★★★$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$. On admet que $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite.
Lire la construction en escalier
★☆☆Sur la figure du cours, lire $u_1$, $u_2$, $u_3$ et conjecturer le comportement de la suite.
Suite auxiliaire géométrique
★★★Avec $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 2$ et $u_0 = 0$, on pose $v_n = u_n - 4$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et en déduire $u_n$ et sa limite.
Seuil avec Python
★★☆Que renvoie la fonction suivante ? Justifier par le calcul.
def seuil():
u, n = 0, 0
while u < 3.99:
u = 0.5 * u + 2
n = n + 1
return nSuite sans limite
★☆☆La suite $u_n = (-1)^n$ converge-t-elle ? Tend-elle vers l'infini ?
Somme bornée
★★★Soit $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}$. Montrer par récurrence que $S_n \leq 2 - \dfrac{1}{n}$, puis justifier que $(S_n)$ converge.
Vrai ou faux
★★☆a) Une suite croissante tend vers $+\infty$. b) Si $-1 \lt q \lt 1$, $q^n \to 0$. c) Une suite convergente est bornée.
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