Limites de fonctions et continuité
Limites en l'infini et en un réel, asymptotes, opérations et formes indéterminées, croissances comparées, composition, comparaison, continuité et théorème des valeurs intermédiaires.
1. Limites et asymptotes
Définition
- Si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$, la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ (de même en $-\infty$).
- Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (à gauche ou à droite), la droite $x = a$ est asymptote verticale.
Exemple
$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1} = \dfrac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \to 2$ en $\pm\infty$. En $1^+$ : numérateur $\to 3$, dénominateur $\to 0^+$, donc $f(x) \to +\infty$ ; en $1^-$, $f(x) \to -\infty$.
2. Calculer des limites
Propriété · Opérations
Mêmes règles que pour les suites ; les formes indéterminées $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$ se lèvent par factorisation, quantité conjuguée ou croissances comparées. En $\pm\infty$, un polynôme ou une fraction rationnelle a la limite de son (quotient de) terme(s) de plus haut degré.
Propriété · Croissances comparées
Pour tout entier $n \geq 1$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$, $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, $\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x = 0$. « L'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme. »
Propriété · Composition
Si $\lim\limits_{x \to a} u(x) = b$ et $\lim\limits_{X \to b} f(X) = c$, alors $\lim\limits_{x \to a} f(u(x)) = c$. Exemple : $e^{1/x} \to e^0 = 1$ en $+\infty$.
Propriété · Comparaison et encadrement
Si $f(x) \geq g(x)$ au voisinage de $+\infty$ et $g(x) \to +\infty$, alors $f(x) \to +\infty$. Si $g \leq f \leq h$ et $g$, $h$ ont la même limite $\ell$, alors $f(x) \to \ell$ (gendarmes).
3. Continuité
Définition
$f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ : sa courbe se trace « sans lever le crayon ». Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, racine, fonctions rationnelles) sont continues sur leur ensemble de définition, ainsi que leurs sommes, produits, quotients et composées. Toute fonction dérivable est continue.
Propriété · Théorème des valeurs intermédiaires
Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$. Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique.
Méthode · Encadrer la solution
Par dichotomie ou avec un tableau de valeurs : $f(0{,}6) \approx -0{,}18 \lt 0$ et $f(0{,}7) \approx 0{,}04 \gt 0$, donc $0{,}6 \lt \alpha \lt 0{,}7$.
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Exercices corrigés
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Limite d'une fraction rationnelle
★☆☆Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 4}$ et interpréter graphiquement.
Asymptote verticale
★★☆Étudier la limite de $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ quand $x$ tend vers $2$ par valeurs supérieures, puis inférieures.
Valeurs intermédiaires
★★★Montrer que l'équation $e^x = 3 - x$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ et en donner un encadrement d'amplitude $0{,}1$.
Polynômes en l'infini
★☆☆Limites en $+\infty$ et en $-\infty$ de $f(x) = -2x^3 + 5x^2 - 1$.
Asymptote horizontale
★☆☆Déterminer la limite de $f(x) = \dfrac{3x^2 - 1}{x^2 + 2}$ en $-\infty$. Interpréter.
À gauche et à droite
★★☆Déterminer les limites de $\dfrac{1}{x - 2}$ quand $x \to 2^-$ et $x \to 2^+$.
Lire les asymptotes
★★☆Avec la figure du cours, retrouver par le calcul les asymptotes de la courbe de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$.
Quantité conjuguée
★★☆Déterminer la limite en $+\infty$ de $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$.
Croissances comparées
★★☆Limites de $xe^{-x}$ en $+\infty$ et de $\dfrac{e^x}{x^3}$ en $+\infty$.
Logarithme et puissances
★★☆Limites de $\dfrac{\ln x}{x}$ en $+\infty$, de $x\ln x$ en $0^+$ et de $x - \ln x$ en $+\infty$.
Limite d'une composée
★★☆Limites de $e^{1/x}$ en $+\infty$ et en $0^+$, puis de $\ln(1 + x^2)$ en $+\infty$.
Minorer pour conclure
★★☆Montrer que $x + \cos x \geq x - 1$ et en déduire la limite de $x + \cos x$ en $+\infty$.
Encadrer pour conclure
★★☆Déterminer la limite de $\dfrac{\sin x}{x}$ en $+\infty$.
Fonction définie par morceaux
★★☆$f(x) = x^2$ si $x \leq 1$ et $f(x) = ax + 1$ si $x \gt 1$. Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $1$.
Solution unique
★★☆Montrer que $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0\,;\,1]$.
Dichotomie
★★★Encadrer la solution $\alpha$ précédente à $10^{-2}$ près.
Fonction partie entière
★★☆La fonction partie entière $E(x)$ ($E(2{,}7) = 2$) est-elle continue en $3$ ? Justifier avec les limites à gauche et à droite.
Taux d'accroissement
★★☆Déterminer $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$.
Nombre de solutions
★★★$f(x) = x^3 - 3x + 1$. En utilisant ses variations, déterminer le nombre de solutions de $f(x) = 0$.
Vrai ou faux
★★☆a) Une fonction continue est dérivable. b) $\dfrac{e^x}{x^{10}} \to +\infty$ en $+\infty$. c) Si $f(a) \lt 0 \lt f(b)$, $f$ s'annule sur $[a\,;\,b]$.
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