Cinématique et transmission de mouvement
Mouvements de translation et de rotation, vitesse linéaire et angulaire (v = R ?), conversions tr/min et rad/s, trajectoires, transmetteurs : engrenages, poulies-courroie, pignon-crémaillère, vis-écrou, rapport de transmission.
1. Translation et rotation
Définition
En translation, tous les points d'un solide ont la même vitesse $v$ (m/s). En rotation autour d'un axe, le solide a une vitesse angulaire $\omega$ (rad/s) ; un point à la distance $R$ de l'axe a une vitesse $v = R \times \omega$, tangente à sa trajectoire circulaire.
Propriété · Conversions
$\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$ avec $N$ en tours par minute. Exemple : $N = 3\,000$ tr/min donne $\omega \approx 314$ rad/s.
2. Transmettre et adapter le mouvement
Propriété · Rapport de transmission
$k = \dfrac{\omega_\text{sortie}}{\omega_\text{entrée}}$. Engrenage : $k = \dfrac{Z_\text{menant}}{Z_\text{mené}}$ (nombres de dents), sens inversé pour un engrenage extérieur. Poulies-courroie : $k = \dfrac{D_\text{menante}}{D_\text{menée}}$, même sens. Si $k \lt 1$, c'est un réducteur : la vitesse diminue et le couple augmente (aux pertes près, $C_s = \dfrac{\eta\, C_e}{k}$).
Propriété · Transformer le mouvement
Pignon-crémaillère : rotation ? translation, $v = R \times \omega$ ($R$ rayon primitif du pignon). Vis-écrou : un tour de vis fait avancer l'écrou d'un pas $p$ : $v = p \times N$ (avec $N$ en tr/s).
Exemple · Réducteur à deux étages
Étage 1 : $Z = 12$ / $48$ ; étage 2 : $Z = 15$ / $45$. $k = \dfrac{12}{48} \times \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{12}$. Un moteur à $3\,000$ tr/min entraîne la sortie à $250$ tr/min.
Activité · Mesurer un rapport de réduction
S'entraîner
Exercices corrigés
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Conversion tr/min ? rad/s
★☆☆Convertir $1\,500$ tr/min en rad/s.
Conversion rad/s ? tr/min
★☆☆Convertir $50$ rad/s en tr/min.
Vitesse d'un point
★☆☆Une roue de rayon $0{,}3$ m tourne à $20$ rad/s. Vitesse d'un point de la périphérie ?
Vitesse d'un vélo
★★☆Une roue de vélo de diamètre $0{,}7$ m tourne à $150$ tr/min. Vitesse du vélo en km/h ?
Engrenage simple
★☆☆Pignon de $15$ dents (menant), roue de $45$ dents. Rapport ? Vitesse de sortie si le pignon tourne à $900$ tr/min ?
Sens de rotation
★☆☆Dans un engrenage extérieur, les deux roues tournent-elles dans le même sens ?
Roue intermédiaire
★★☆On place une roue intermédiaire entre le pignon et la roue. Que change-t-elle ?
Poulies
★☆☆Poulie menante de $8$ cm, menée de $24$ cm. Rapport ? sens ?
Couple de sortie
★★☆Un réducteur de rapport $\dfrac{1}{10}$ et de rendement $0{,}9$ reçoit un couple de $2$ N·m. Couple de sortie ?
Deux étages
★★☆Étage 1 : $10/40$ ; étage 2 : $12/36$. Rapport global ?
Vitesse de sortie
★★☆Avec le réducteur précédent et un moteur à $3\,600$ tr/min, vitesse de sortie ?
Pignon-crémaillère
★★☆Un pignon de rayon $2$ cm tourne à $5$ rad/s. Vitesse de la crémaillère ?
Vis-écrou
★★☆Une vis de pas $2$ mm tourne à $300$ tr/min. Vitesse d'avance de l'écrou ?
Temps de course
★★☆Avec la vis précédente, combien de temps pour une course de $150$ mm ?
Choisir un réducteur
★★★Un moteur tourne à $3\,000$ tr/min et la roue d'un robot ($R = 5$ cm) doit avancer à $0{,}5$ m/s. Quel rapport de réduction faut-il ?
Vitesse d'une courroie
★★☆Une poulie de rayon $5$ cm tourne à $1\,200$ tr/min. Vitesse de la courroie ?
Trajectoire
★☆☆Quelle est la trajectoire d'un point d'une porte qui tourne autour de ses gonds ?
Mesure expérimentale
★★☆Dans l'activité, vérifier que $k = 0{,}05$.
Irréversibilité
★★★Pourquoi un système vis-écrou est-il souvent irréversible ?
Vrai ou faux
★★☆a) Un réducteur augmente la vitesse. b) $v = R \times \omega$. c) Les rapports de deux étages s'additionnent.
Vérifier
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