Dynamique : principe fondamental et inertie
Principe fondamental de la dynamique en translation (? F = m a) et en rotation (? C = J ?), mouvements uniformément variés, inertie, dimensionnement d'un actionneur (ascenseur, véhicule, monte-charge).
1. PFD en translation
Propriété · Principe fondamental de la dynamique
Pour un solide de masse $m$ en translation : $\sum \vec{F}_\text{ext} = m \times \vec{a}$. Si l'accélération est nulle, on retrouve le principe fondamental de la statique. En mouvement uniformément accéléré : $v(t) = a\,t + v_0$ et $x(t) = \dfrac{1}{2}a\,t^2 + v_0\,t + x_0$.
Exemple · Ascenseur
Cabine de $800$ kg accélérant à $1$ m/s² vers le haut : $T = 800 \times (9{,}81 + 1) \approx 8\,650$ N, contre $7\,850$ N à vitesse constante. Au freinage en montée ($a = -1$ m/s²) : $T \approx 7\,050$ N.
2. PFD en rotation
Propriété · Rotation autour d'un axe fixe
$\sum C = J \times \alpha$, où $J$ (kg·m²) est le moment d'inertie par rapport à l'axe et $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$ l'accélération angulaire (rad/s²). Pour un cylindre plein de masse $m$ et de rayon $R$ : $J = \dfrac{1}{2}mR^2$. Plus la masse est loin de l'axe, plus l'inertie est grande.
Exemple · Démarrage d'un volant d'inertie
$J = 0{,}2$ kg·m², couple moteur $4$ N·m, frottements négligés : $\alpha = 20$ rad/s². Pour atteindre $300$ rad/s : $t = 15$ s.
3. Dimensionner
Méthode · Démarche
- Isoler le solide et faire le bilan des actions extérieures.
- Écrire le PFD selon l'axe du mouvement.
- En déduire l'effort (ou le couple) nécessaire dans la phase la plus contraignante (souvent l'accélération).
- Calculer la puissance maximale $P = F \times v$ ou $P = C \times \omega$ et choisir l'actionneur avec une marge.
Activité · Mesurer une accélération
S'entraîner
Exercices corrigés
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Accélération
★☆☆Une force résultante de $300$ N s'applique à un chariot de $150$ kg. Accélération ?
Force nécessaire
★☆☆Quelle force faut-il pour accélérer une voiture de $1\,200$ kg à $2{,}5$ m/s² (frottements négligés) ?
Vitesse atteinte
★☆☆Partant de l'arrêt avec $a = 2$ m/s², quelle vitesse au bout de $6$ s ? Distance parcourue ?
Ascenseur à vitesse constante
★☆☆Tension du câble d'une cabine de $600$ kg montant à vitesse constante ?
Ascenseur qui accélère
★★☆Même cabine accélérant vers le haut à $1{,}2$ m/s². Tension ?
Ascenseur qui descend
★★☆La cabine démarre vers le bas avec $a = 1$ m/s². Tension ?
Freinage
★★☆Une voiture de $1\,000$ kg roulant à $20$ m/s s'arrête en $4$ s. Décélération et force de freinage ?
Distance de freinage
★★☆Distance parcourue pendant ce freinage ?
Avec frottements
★★★Un chariot de $50$ kg est poussé par $200$ N ; les frottements valent $50$ N. Accélération ?
Moment d'inertie
★★☆Moment d'inertie d'un disque plein de $4$ kg et de rayon $0{,}2$ m ?
Accélération angulaire
★★☆Un couple de $2$ N·m s'applique à ce disque. Accélération angulaire ? Vitesse au bout de $3$ s ?
Temps de démarrage
★★☆Combien de temps pour que le volant du cours atteigne $150$ rad/s ?
Couple nécessaire
★★★Un tambour ($J = 0{,}5$ kg·m²) doit passer de $0$ à $100$ rad/s en $2$ s, avec un couple résistant de $5$ N·m. Couple moteur ?
Puissance maximale
★★★Suite : puissance du moteur à la fin du démarrage ?
Inertie et forme
★★☆Deux roues de même masse : l'une pleine, l'autre avec la masse à la jante. Laquelle a la plus grande inertie ?
Expérience
★★☆Recalculer l'accélération théorique de l'activité avec une masse suspendue de $100$ g.
Dimensionner un monte-charge
★★★Un monte-charge de $400$ kg (charge comprise) doit atteindre $0{,}8$ m/s en $1$ s. Effort maximal du câble ? Puissance maximale ?
Ceinture de sécurité
★★☆Lors d'un choc, un passager de $70$ kg passe de $15$ m/s à $0$ en $0{,}1$ s. Force moyenne exercée par la ceinture ?
Statique ou dynamique
★☆☆Dans quel cas le PFD se réduit-il au PFS ?
Vrai ou faux
★★☆a) $\sum F = m a$. b) Le moment d'inertie s'exprime en kg·m². c) À vitesse constante, la tension du câble d'un ascenseur égale son poids.
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