Géométrie plane : périmètres, aires et théorème de Pythagore
Figures usuelles (carré, rectangle, triangle, cercle), périmètres et aires, conversions d'aires, théorème de Pythagore et sa réciproque pour vérifier un angle droit, applications aux métiers (sols, clôtures, découpes).
1. Périmètres et aires
Propriété · Formules
Périmètre (longueur du contour) : carré $4c$ ; rectangle $2(L + l)$ ; cercle $2\pi r$. Aire (surface) : carré $c^2$ ; rectangle $L \times l$ ; triangle $\dfrac{b \times h}{2}$ ; disque $\pi r^2$. Unités d'aire : $1$ m² $= 100$ dm² $= 10\,000$ cm².
Exemple · Carreler une pièce
Pièce de $5$ m sur $4$ m : aire $20$ m². Avec $10\,\%$ de marge pour les coupes : $22$ m² de carrelage à commander.
2. Le théorème de Pythagore
Propriété · Énoncé
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $BC^2 = AB^2 + AC^2$. Réciproque : si l'égalité est vérifiée, le triangle est rectangle.
Exemple · Longueur d'une rampe
Une rampe monte de $0{,}6$ m sur $3{,}2$ m à l'horizontale : $\ell^2 = 0{,}36 + 10{,}24 = 10{,}6$, $\ell \approx 3{,}26$ m.
Activité · La règle du 3-4-5
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Exercices corrigés
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Périmètre d'un rectangle
★☆☆Périmètre d'un terrain de $25$ m sur $12$ m ?
Aire d'un rectangle
★☆☆Aire de ce terrain ?
Aire d'un carré
★☆☆Aire d'une dalle carrée de $60$ cm de côté, en m² ?
Aire d'un triangle
★☆☆Aire d'un triangle de base $8$ cm et de hauteur $5$ cm ?
Cercle
★★☆Périmètre et aire d'une table ronde de rayon $0{,}6$ m (arrondir au centième) ?
Clôture
★★☆Un jardin rectangulaire de $18$ m sur $10$ m est clôturé, avec un portail de $3$ m. Longueur de grillage ?
Carrelage
★★☆Combien de dalles de $0{,}36$ m² pour couvrir $18$ m² ?
Peinture d'un mur
★★☆Un mur de $4$ m sur $2{,}5$ m comporte une fenêtre de $1{,}2$ m sur $1$ m. Surface à peindre ?
Conversion d'aires
★☆☆Convertir $2{,}5$ m² en cm² et $4\,500$ cm² en m².
Pythagore
★☆☆Triangle rectangle de côtés $6$ cm et $8$ cm. Hypoténuse ?
Côté de l'angle droit
★★☆Hypoténuse $13$ m, un côté $5$ m. Autre côté ?
Échelle
★★☆Une échelle de $4$ m est posée à $1$ m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
Diagonale d'un écran
★★☆Un écran mesure $48$ cm sur $27$ cm. Diagonale ?
Réciproque
★★☆Un triangle a pour côtés $9$, $12$ et $15$ cm. Est-il rectangle ?
Contre-exemple
★★☆Un cadre mesure $60$ cm sur $80$ cm et sa diagonale $98$ cm. Est-il d\'équerre ?
Règle du 3-4-5
★☆☆Avec la méthode de l'activité, quelle diagonale pour des côtés de $6$ m et $8$ m ?
Rampe
★★☆Une rampe monte de $0{,}5$ m sur $4$ m d'horizontale. Longueur de la rampe ?
Aire composée
★★★Une pièce en L est formée d'un rectangle de $6 \times 4$ m et d'un rectangle de $3 \times 2$ m. Aire totale ?
Nappe ronde
★★☆Quel diamètre de nappe pour couvrir une table ronde de $1{,}2$ m de diamètre avec $20$ cm de retombée tout autour ?
Vrai ou faux
★★☆a) L'aire d'un disque est $2\pi r$. b) L'hypoténuse est le plus long côté. c) $1$ m² $= 100$ cm².
Vérifier
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