Nombres complexes : forme algébrique et équations
L'ensemble ? des nombres complexes : forme algébrique, partie réelle et partie imaginaire, calculs, conjugué, quotients, équations du second degré à coefficients réels et factorisation de polynômes.
1. L'ensemble ?
Définition · Nombre complexe
Il existe un ensemble $\mathbb{C}$, contenant $\mathbb{R}$, muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles des réels, et contenant un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$. Tout nombre complexe s'écrit de façon unique $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels : c'est sa forme algébrique. $a = \mathrm{Re}(z)$ est la partie réelle, $b = \mathrm{Im}(z)$ la partie imaginaire.
Si $b = 0$, $z$ est réel ; si $a = 0$, $z$ est imaginaire pur. Deux complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
2. Calculer avec la forme algébrique
On calcule comme avec des réels, en remplaçant $i^2$ par $-1$.
Exemple · Produit
$(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$.
Propriété · Puissances de i
$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$ : les puissances de $i$ se répètent tous les 4. Par exemple $i^{2026} = i^{4 \times 506 + 2} = i^2 = -1$.
3. Conjugué
Définition · Conjugué
Le conjugué de $z = a + ib$ est $\overline{z} = a - ib$.
Propriété · Propriétés
$z + \overline{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ ; $z - \overline{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ ; $z\,\overline{z} = a^2 + b^2$ (réel positif) ; $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$ ; $\overline{z z'} = \overline{z}\,\overline{z'}$ ; $\overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}$. Enfin $z$ est réel $\iff \overline{z} = z$ et $z$ est imaginaire pur $\iff \overline{z} = -z$.
Méthode · Écrire un quotient sous forme algébrique
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $\dfrac{3 + i}{1 - 2i} = \dfrac{(3 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \dfrac{3 + 6i + i - 2}{1 + 4} = \dfrac{1 + 7i}{5}$.
4. Équations du second degré à coefficients réels
Propriété · Résolution dans ?
Soit $az^2 + bz + c = 0$ avec $a$, $b$, $c$ réels, $a \neq 0$, et $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta \geq 0$ : les solutions réelles habituelles.
- Si $\Delta < 0$ : deux solutions complexes conjuguées $z_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
Dans tous les cas $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$, avec $z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $z_1 z_2 = \dfrac{c}{a}$.
Exemple · z² ? 2z + 5 = 0
$\Delta = 4 - 20 = -16 = (4i)^2$, donc $z = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$.
Méthode · Polynôme de degré 3 ayant une racine évidente
Si $P(z_0) = 0$, on factorise $P(z) = (z - z_0)Q(z)$ avec $Q$ de degré 2 (identification des coefficients), puis on résout $Q(z) = 0$.
Attention · Pas de comparaison
On ne compare pas deux nombres complexes non réels : écrire $1 + i > 1$ n'a aucun sens.
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Exercices corrigés
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Somme et produit
★☆☆Écrire sous forme algébrique $(2 + 3i) + (4 - 5i)$ puis $(2 + 3i)(4 - 5i)$.
Puissances de i
★☆☆Calculer $i^3$, $i^4$, $i^{10}$ et $i^{2026}$.
Carré
★☆☆Développer $(1 - 2i)^2$.
Conjugué d'un produit
★☆☆Calculer $z = (3 - i)(2 + i)$ puis $\overline{z}$.
Inverse
★☆☆Écrire $\dfrac{1}{2 - i}$ sous forme algébrique.
Quotient
★★☆Écrire $\dfrac{1 + 3i}{1 + i}$ sous forme algébrique.
Parties réelle et imaginaire
★★☆Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z = \dfrac{2 + i}{3 - 4i}$.
Équation avec conjugué
★★☆Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z + 2\overline{z} = 3 - i$.
Équation du premier degré
★☆☆Résoudre $(1 + i)z = 3 - i$.
z² = ?4
★☆☆Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 + 4 = 0$.
Second degré (1)
★☆☆Résoudre $z^2 - 2z + 5 = 0$.
Second degré (2)
★★☆Résoudre $2z^2 + 2z + 1 = 0$.
Second degré (3)
★★☆Résoudre $z^2 - 6z + 13 = 0$ puis factoriser $z^2 - 6z + 13$.
Somme et produit des racines
★★☆Vérifier, sans les calculer, que les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$ ont pour somme $2$ et pour produit $5$, puis le confirmer avec $1 \pm 2i$.
z³ = 1
★★★Factoriser $z^3 - 1$ par $z - 1$, puis résoudre $z^3 = 1$ dans $\mathbb{C}$.
Polynôme de degré 3
★★★Soit $P(z) = z^3 - 3z^2 + 4z - 2$. Calculer $P(1)$, factoriser $P$ et résoudre $P(z) = 0$.
Imaginaire pur
★★☆Pour quels réels $x$ le nombre $(x + i)^2$ est-il imaginaire pur ?
Puissances de 1 + i
★★☆Calculer $(1 + i)^2$, puis en déduire $(1 + i)^4$ et $(1 + i)^8$.
Produit par le conjugué
★☆☆Montrer que pour $z = a + ib$, le nombre $z\,\overline{z}$ est un réel positif. Calculer-le pour $z = 3 + 4i$.
Équation conjugué (2)
★★★Résoudre $\overline{z} = 2z - 1 + 3i$.
Complexes en Python
★☆☆En Python, le nombre $i$ s'écrit 1j. Qu'affiche print((2+3j)*(4-5j)) ?
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