Nombres complexes : module, argument et forme exponentielle
Interprétation géométrique d'un nombre complexe : module, argument, forme trigonométrique et forme exponentielle, règles de calcul, formules de Moivre et d'Euler.
1. Module
Définition · Module
Le module de $z = a + ib$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\,\overline{z}}$. Si $M$ est le point d'affixe $z$, alors $|z| = OM$.
Propriété · Règles
$|z z'| = |z|\,|z'|$ ; $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ ; $|z^n| = |z|^n$ ; $|\overline{z}| = |z|$ ; et l'inégalité triangulaire $|z + z'| \leq |z| + |z'|$.
2. Argument et forme trigonométrique
Définition · Argument
Pour $z \neq 0$, un argument de $z$ est une mesure $\theta$ (en radians) de l'angle orienté entre l'axe des réels et le vecteur $\overrightarrow{OM}$ ; il est défini à $2\pi$ près. On a $\cos\theta = \dfrac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{|z|}$.
Propriété · Forme trigonométrique
Tout complexe non nul s'écrit $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg z$.
Exemple · z = ?1 + i?3
$|z| = \sqrt{1 + 3} = 2$ ; $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ : $z = 2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$.
3. Forme exponentielle
Définition · Notation exponentielle
On note $\mathrm{e}^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. Tout complexe non nul s'écrit $z = r\,\mathrm{e}^{i\theta}$.
Propriété · Règles de calcul
$\mathrm{e}^{i\theta}\,\mathrm{e}^{i\theta'} = \mathrm{e}^{i(\theta + \theta')}$ ; $\dfrac{1}{\mathrm{e}^{i\theta}} = \mathrm{e}^{-i\theta} = \overline{\mathrm{e}^{i\theta}}$ ; $\left(\mathrm{e}^{i\theta}\right)^n = \mathrm{e}^{in\theta}$. Donc $\arg(zz') = \arg z + \arg z'$, $\arg\dfrac{z}{z'} = \arg z - \arg z'$ et $\arg(z^n) = n\arg z$ (à $2\pi$ près).
Propriété · Formules de Moivre et d'Euler
Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.
Euler : $\cos\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{i\theta} - \mathrm{e}^{-i\theta}}{2i}$.
Méthode · Calculer une grande puissance
On passe en forme exponentielle : $1 + i = \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}$, donc $(1 + i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\,\mathrm{e}^{i\,10\pi/4} = 32\,\mathrm{e}^{i\pi/2} = 32i$.
Attention · Valeurs à connaître
$\mathrm{e}^{i\pi} = -1$, $\mathrm{e}^{i\pi/2} = i$, $\mathrm{e}^{-i\pi/2} = -i$, $\mathrm{e}^{2i\pi} = 1$. L'égalité $\mathrm{e}^{i\pi} + 1 = 0$ est l'« identité d'Euler ».
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Modules
★☆☆Calculer $|3 + 4i|$, $|1 - i|$ et $|-2i|$.
Module et argument de 1 + i
★☆☆Déterminer le module et un argument de $1 + i$.
Forme trigonométrique
★★☆Écrire $z = -1 + i\sqrt{3}$ sous forme trigonométrique.
Réels et imaginaires purs
★☆☆Donner le module et un argument de $-2$ et de $3i$.
Argument négatif
★★☆Déterminer le module et un argument de $\sqrt{3} - i$.
Retour à la forme algébrique
★☆☆Écrire $2\,\mathrm{e}^{i\pi/3}$ et $4\,\mathrm{e}^{-i\pi/2}$ sous forme algébrique.
Produit en forme exponentielle
★☆☆$z_1 = 2\,\mathrm{e}^{i\pi/6}$ et $z_2 = 3\,\mathrm{e}^{i\pi/3}$. Calculer $z_1 z_2$.
Quotient en forme exponentielle
★☆☆Avec les mêmes nombres, calculer $\dfrac{z_1}{z_2}$.
(1 + i)¹?
★★☆Calculer $(1 + i)^{10}$ en passant par la forme exponentielle.
(1 + i?3)?
★★☆Calculer $(1 + i\sqrt{3})^6$.
Formules de duplication
★★☆En développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^2$ et en utilisant la formule de Moivre, retrouver $\cos 2\theta$ et $\sin 2\theta$.
Linéarisation
★★★À l'aide d'une formule d'Euler, montrer que $\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$.
Module d'un quotient
★☆☆Calculer $\left|\dfrac{3 + 4i}{1 - i}\right|$ sans calculer le quotient.
Ensemble de points (cercle)
★★☆Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2i| = 3$.
Ensemble de points (médiatrice)
★★★Déterminer l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $|z - 1| = |z + i|$.
Conjugué et inverse
★☆☆$z = 2\,\mathrm{e}^{i\pi/5}$. Donner la forme exponentielle de $\overline{z}$ et de $\dfrac{1}{z}$.
Puissance réelle
★★★Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $(1 + i)^n$ est-il réel ?
Inégalité triangulaire
★☆☆Vérifier l'inégalité triangulaire avec $z = 3$ et $z' = 4i$.
Identité d'Euler
★☆☆Justifier que $\mathrm{e}^{i\pi} + 1 = 0$.
Module et argument en Python
★☆☆Avec le module cmath, que renvoient abs(3+4j) et cmath.phase(1j) ?
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