Nombres complexes et géométrie, racines n-ièmes de l'unité
Utiliser les nombres complexes en géométrie : distances, milieux, angles, alignement, orthogonalité, translations et rotations ; racines n-ièmes de l'unité et polygones réguliers.
1. Distances et angles
Propriété · Traduction géométrique
Pour des points $A$, $B$, $C$ d'affixes $z_A$, $z_B$, $z_C$ :
- le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$ et $AB = |z_B - z_A|$ ;
- le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{z_A + z_B}{2}$ ;
- une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$ est $\arg\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
Méthode · Alignement et orthogonalité
Avec $Z = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ : $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff Z$ est réel ; $(AB) \perp (AC) \iff Z$ est imaginaire pur.
Exemple · Triangle rectangle isocèle
$A(0)$, $B(2)$, $C(1 + i)$ : $\dfrac{z_A - z_C}{z_B - z_C} = \dfrac{-1 - i}{1 - i} = -i$. Ce quotient est imaginaire pur et de module $1$ : le triangle est rectangle isocèle en $C$.
2. Transformations
Propriété · Écritures complexes
- Translation de vecteur d'affixe $b$ : $z' = z + b$.
- Rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ : $z' - \omega = \mathrm{e}^{i\theta}(z - \omega)$.
- Homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ : $z' - \omega = k(z - \omega)$.
3. Racines n-ièmes de l'unité
Définition · Racines n-ièmes de l'unité
Ce sont les solutions de $z^n = 1$. Il y en a exactement $n$ : $\omega_k = \mathrm{e}^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n - 1$.
Propriété · Propriétés
Les points d'affixes $\omega_k$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité. Pour $n \geq 2$, leur somme est nulle : $1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0$ avec $\omega = \mathrm{e}^{2i\pi/n}$.
Exemple · Racines cubiques
$z^3 = 1$ a pour solutions $1$, $j = \mathrm{e}^{2i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ et $j^2 = \overline{j}$, avec $1 + j + j^2 = 0$.
Méthode · Résoudre z^n = a
On écrit $a = R\,\mathrm{e}^{i\alpha}$ et on cherche $z = r\,\mathrm{e}^{i\theta}$ : $r^n = R$ et $n\theta = \alpha + 2k\pi$. Exemple : $z^3 = 8$ donne $z = 2\,\mathrm{e}^{2ik\pi/3}$, soit $2$, $-1 + i\sqrt{3}$ et $-1 - i\sqrt{3}$.
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Distance
★☆☆$A(1 + 2i)$ et $B(4 + 6i)$. Calculer $AB$.
Milieu
★☆☆Avec les mêmes points, donner l'affixe du milieu $I$ de $[AB]$.
Triangle rectangle isocèle
★★☆$A(0)$, $B(2)$, $C(1 + i)$. Calculer $\dfrac{z_A - z_C}{z_B - z_C}$ et en déduire la nature de $ABC$.
Alignement
★★☆$A(1 + i)$, $B(3 + 2i)$, $C(7 + 4i)$. Ces points sont-ils alignés ?
Rotation d'un quart de tour
★☆☆Donner l'image de $M(2 + i)$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
Rotation de centre ?
★★☆Donner l'image de $A(3)$ par la rotation de centre $\Omega(1)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
Translation
★☆☆Donner l'image de $M(1 + i)$ par la translation de vecteur d'affixe $2 - i$.
Racines carrées et quatrièmes de 1
★☆☆Résoudre $z^2 = 1$ puis $z^4 = 1$.
Racines cubiques
★★☆Donner les racines cubiques de l'unité sous forme algébrique.
1 + j + j² = 0
★★☆Démontrer que $1 + j + j^2 = 0$ de deux façons.
z³ = 8
★★☆Résoudre $z^3 = 8$ dans $\mathbb{C}$.
z? = 16
★★☆Résoudre $z^4 = 16$.
Racines sixièmes
★★☆Écrire les racines sixièmes de l'unité sous forme exponentielle et justifier que leur somme est nulle.
Triangle équilatéral
★★☆$O(0)$, $A(1)$ et $B\left(\mathrm{e}^{i\pi/3}\right)$. Montrer que $OAB$ est équilatéral.
Parallélogramme
★★☆$A(1)$, $B(2 + i)$, $C(3 + 3i)$. Déterminer l'affixe de $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Cercle
★☆☆Décrire l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - (1 + i)| = 2$.
Quotient réel
★★★$A(i)$ et $B(1)$. Décrire l'ensemble des points $M(z)$, $z \neq 1$, tels que $\dfrac{z - i}{z - 1}$ soit réel.
Côté du pentagone
★★★Calculer la longueur du côté du pentagone régulier inscrit dans le cercle unité, de sommets $\mathrm{e}^{2ik\pi/5}$.
Homothétie
★★☆Image de $M(3 + i)$ par l'homothétie de centre $\Omega(1 + i)$ et de rapport $-2$.
z³ = i
★★★Résoudre $z^3 = i$.
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