Le second degré
Fonctions polynômes du second degré, forme canonique, discriminant, factorisation, signe du trinôme, résolution algébrique et graphique des équations et inéquations.
1. Fonction polynôme du second degré
Définition
Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si $a \gt 0$, vers le bas si $a \lt 0$.
2. La forme canonique
Propriété
Tout trinôme s'écrit sous la forme canonique :
$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \qquad \text{avec } \alpha = -\dfrac{b}{2a} \text{ et } \beta = f(\alpha).$$Le point $S(\alpha\,;\,\beta)$ est le sommet de la parabole et la droite $x = \alpha$ est son axe de symétrie.
Méthode · Trouver la forme canonique
$f(x) = x^2 - 4x + 3$ : $\alpha = -\dfrac{-4}{2} = 2$ et $\beta = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$. Donc $f(x) = (x - 2)^2 - 1$.
Vérification : $(x - 2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3$ ✔.
Propriété · Variations
Si $a \gt 0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha\,;\,+\infty[$ ; $\beta$ est le minimum. Si $a \lt 0$ : c'est l'inverse, $\beta$ est le maximum.
3. Résoudre ax² + bx + c = 0
Définition · Discriminant
Le discriminant du trinôme est $\Delta = b^2 - 4ac$.
Propriété · Solutions
- Si $\Delta \gt 0$ : deux solutions $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ : une solution (double) $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
- Si $\Delta \lt 0$ : aucune solution réelle.
Exemple
$2x^2 - 3x - 2 = 0$ : $\Delta = 9 + 16 = 25 \gt 0$. $x_1 = \dfrac{3 - 5}{4} = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{3 + 5}{4} = 2$.
Attention · Cas particuliers
Inutile de calculer $\Delta$ si $c = 0$ ($x(ax + b) = 0$) ou si $b = 0$ ($x^2 = -\dfrac{c}{a}$), ou si une racine est évidente.
4. Factorisation, somme et produit des racines
Propriété
- Si $\Delta \gt 0$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
- Si $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$.
- Si $\Delta \lt 0$ : $f(x)$ ne se factorise pas.
Lorsque les racines existent : $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Méthode · Racine évidente
$x^2 + 2x - 3$ : $x = 1$ est racine évidente ($1 + 2 - 3 = 0$). Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = -3$, donc l'autre racine est $-3$ : $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.
5. Signe du trinôme
Propriété · Règle
Un trinôme est du signe de $a$, sauf entre ses racines (quand elles existent), où il est du signe contraire.
6. Inéquations : résolution algébrique et graphique
Méthode · Résoudre une inéquation du second degré
- Tout ramener à un membre : $ax^2 + bx + c \geq 0$ (ou $\gt$, $\leq$, $\lt$).
- Calculer $\Delta$ et les racines éventuelles.
- Appliquer la règle des signes (ou lire le tableau de signes).
- Conclure par un intervalle ou une réunion d'intervalles.
Méthode · Graphiquement
Résoudre $f(x) \gt 0$, c'est chercher les abscisses des points de la parabole situés au-dessus de l'axe des abscisses. Résoudre $f(x) \leq g(x)$, c'est chercher les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ situés sous $\mathcal{C}_g$.
Exemple · Résolution algébrique correspondante
$x^2 - 2x - 1 \leq x + 3 \iff x^2 - 3x - 4 \leq 0$. $\Delta = 9 + 16 = 25$, racines $-1$ et $4$. Le trinôme ($a = 1 \gt 0$) est négatif entre ses racines : $S = [-1\,;\,4]$.
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Résoudre une équation
★☆☆Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Forme canonique
★★☆Déterminer la forme canonique de $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ et en déduire son extremum.
Inéquation
★★★Résoudre $-x^2 + x + 6 \geq 0$.
Reconnaître un trinôme
★☆☆Parmi ces fonctions, lesquelles sont des polynômes du second degré ? Préciser $a$, $b$, $c$. $f(x) = 3x^2 - x$ ; $g(x) = (x - 1)^2 - x^2$ ; $h(x) = 5 - 2x^2$ ; $k(x) = \dfrac{1}{x^2}$.
Sommet et axe
★☆☆Déterminer les coordonnées du sommet et l'axe de symétrie de la parabole $y = -2x^2 + 8x - 5$. Est-ce un maximum ou un minimum ?
Forme canonique et variations
★★☆Soit $f(x) = x^2 + 6x + 5$. Écrire $f$ sous forme canonique puis dresser son tableau de variations.
Discriminant
★☆☆Calculer $\Delta$ et donner le nombre de solutions : a) $x^2 + x + 1 = 0$ ; b) $4x^2 - 4x + 1 = 0$ ; c) $x^2 - 7x + 10 = 0$.
Résoudre avec Δ
★★☆Résoudre : a) $3x^2 + 5x - 2 = 0$ ; b) $-x^2 + 4x - 4 = 0$ ; c) $2x^2 + 3 = 0$.
Sans discriminant
★☆☆Résoudre sans calculer $\Delta$ : a) $5x^2 - 20x = 0$ ; b) $4x^2 - 9 = 0$ ; c) $(2x - 1)^2 = 16$.
Factoriser
★★☆Factoriser : $f(x) = 2x^2 - 2x - 12$ et $g(x) = 9x^2 - 12x + 4$.
Racine évidente
★★☆Vérifier que $1$ est racine de $2x^2 + 3x - 5$ et en déduire l'autre racine sans calculer $\Delta$.
Somme et produit
★★★Trouver deux nombres dont la somme vaut $17$ et le produit $60$.
Signe d'un trinôme
★☆☆Dresser le tableau de signes de $f(x) = x^2 - 5x + 4$.
Résolution graphique
★☆☆La parabole ci-dessous représente une fonction $f$.
Lire les solutions de $f(x) = 0$ et de $f(x) \gt 4$, puis résoudre $f(x) \geq 0$.
Inéquation (a > 0)
★★☆Résoudre $2x^2 - 5x - 3 \gt 0$.
Inéquation sans racine
★★☆Résoudre $x^2 - 2x + 5 \lt 0$ puis $x^2 - 2x + 5 \gt 0$.
Parabole et droite
★★☆Déterminer les points d'intersection de la parabole $y = x^2 - x$ et de la droite $y = x + 3$, puis la position relative des deux courbes.
Aire maximale
★★☆Avec $60$ m de clôture, on délimite un enclos rectangulaire le long d'un mur (3 côtés à clôturer). On note $x$ la largeur perpendiculaire au mur. Exprimer l'aire $A(x)$ et trouver son maximum.
Trajectoire d'un ballon
★★☆La hauteur d'un ballon (en m) est $h(t) = -5t^2 + 10t + 1{,}5$, $t$ en secondes. Quelle hauteur maximale atteint-il ? Quand touche-t-il le sol ?
Bénéfice
★★★Le bénéfice (en k€) pour $x$ tonnes produites est $B(x) = -x^2 + 12x - 20$, $x \in [0\,;\,12]$. Pour quelles productions l'entreprise est-elle rentable ? Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ?
Équation avec paramètre
★★★Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $x^2 + mx + 4 = 0$ a-t-elle une seule solution ? aucune ?
Équation se ramenant au second degré
★★★Résoudre $\dfrac{2}{x} = x - 1$ pour $x \neq 0$.
Retrouver un trinôme
★★★Déterminer la fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ dont la parabole a pour sommet $S(1\,;\,-4)$ et passe par $A(3\,;\,0)$.
Inéquation produit
★★☆Résoudre $(x^2 - 4)(x + 1) \leq 0$ à l'aide d'un tableau de signes.
Tableur et Python
★★☆Écrire une fonction Python nb_solutions(a, b, c) qui renvoie le nombre de solutions réelles de $ax^2 + bx + c = 0$.
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