Les suites numériques
Définition d'une suite, modes de génération explicite et par récurrence, représentations graphiques, sens de variation et notion de limite.
1. Qu'est-ce qu'une suite ?
Une suite est une liste ordonnée de nombres : le nombre d'habitants d'une ville chaque année, le solde d'un compte chaque mois, la hauteur d'une balle à chaque rebond…
Définition
Une suite numérique $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$, appelé terme de rang $n$ (ou terme d'indice $n$). $u_0$ est le premier terme (on commence parfois à $u_1$).
Attention · Notations
Ne pas confondre $u_{n+1}$ (le terme qui suit $u_n$) et $u_n + 1$ (le terme $u_n$ augmenté de $1$).
2. Deux façons de définir une suite
Définition · Définition explicite
$u_n$ est donné directement en fonction de $n$ : $u_n = f(n)$. Exemple : $u_n = 3n^2 - 1$ donne $u_0 = -1$, $u_1 = 2$, $u_{10} = 299$. On peut calculer n'importe quel terme directement.
Définition · Définition par récurrence
On donne le premier terme et une relation pour passer d'un terme au suivant : $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemple : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 1$ donne $u_1 = 5$, $u_2 = 14$, $u_3 = 41$. Pour obtenir $u_{10}$, il faut calculer tous les termes précédents.
Méthode · Calculer des termes en Python
u = 2
for n in range(10):
u = 3 * u - 1
print(u) # u103. Représentation graphique
Propriété · Nuage de points
On place les points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$. Attention, on ne relie pas les points : une suite n'est définie que pour des entiers.
Propriété · Suite récurrente : représentation en escalier
Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la droite $y = x$. On part de $u_0$ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe (on lit $u_1$), puis on se reporte sur la droite $y = x$ pour ramener $u_1$ sur l'axe des abscisses, et ainsi de suite.
4. Sens de variation
Définition
$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$.
Méthode · Étudier le sens de variation
- Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ (méthode générale).
- Si tous les termes sont strictement positifs, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
- Si $u_n = f(n)$, utiliser les variations de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
Exemple
$u_n = n^2 + n$ : $u_{n+1} - u_n = (n + 1)^2 + (n + 1) - n^2 - n = 2n + 2 \gt 0$ : la suite est croissante.
5. Notion de limite
Propriété
Une suite peut avoir une limite finie $\ell$ (ses termes se rapprochent autant qu'on veut de $\ell$ : $10 \times 0{,}8^n$ tend vers $0$), une limite infinie ($n^2$ tend vers $+\infty$), ou pas de limite ($(-1)^n$ oscille).
Méthode · Algorithme de seuil
Pour trouver le premier rang $n$ tel que $10 \times 0{,}8^n \lt 0{,}1$ :
n = 0
u = 10
while u >= 0.1:
n = n + 1
u = 0.8 * u
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Suite arithmétique
★☆☆$(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $3$. Calculer $u_{10}$ et $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$.
Suite géométrique
★★☆Une population de bactéries double toutes les heures. Il y en a $500$ au départ. Combien en aura-t-on après $8$ h ?
Nature d'une suite
★★★Soit $u_n = 3 \times 2^{n+1}$. Montrer que $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
Calcul de termes (explicite)
★☆☆Soit $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_5$ et $u_{97}$.
Calcul de termes (récurrence)
★☆☆$u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
Ne pas confondre
★☆☆$u_n = n^2 - 2n$. Exprimer $u_{n+1}$ puis $u_n + 1$ en fonction de $n$.
Sens de variation par la différence
★★☆Étudier le sens de variation de $u_n = 5 - 3n$ puis de $v_n = n^2 - 4n$.
Sens de variation par le quotient
★★☆$u_n = \dfrac{3^n}{n + 1}$ (termes positifs). Montrer que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3(n + 1)}{n + 2}$ et conclure.
Avec une fonction
★★☆$u_n = \sqrt{n + 4}$. Justifier que la suite est croissante.
Suite récurrente croissante
★★☆$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + n^2 + 1$. Montrer que $(u_n)$ est croissante.
Lire un nuage de points
★☆☆Avec la figure du cours, donner une valeur approchée de $u_3$ et conjecturer la limite de la suite.
Escalier
★★☆Avec la figure « escalier » du cours, lire $u_1$ et $u_2$ puis conjecturer la limite. Vérifier que $4$ est solution de $x = 0{,}5x + 2$.
Modéliser par récurrence
★★☆Un réservoir contient $500$ L. Chaque jour, on consomme $10\,\%$ de son contenu puis on ajoute $30$ L. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
Algorithme de seuil
★★☆Avec la suite de l'exercice précédent, écrire un programme qui donne le premier jour où le réservoir contient moins de $350$ L.
Suite alternée
★☆☆$u_n = (-1)^n \times 2$. Calculer les 5 premiers termes. La suite est-elle monotone ? A-t-elle une limite ?
Conjecturer une limite
★★☆Conjecturer, à la calculatrice, la limite de $u_n = \dfrac{3n + 2}{n + 1}$. Justifier en écrivant $u_n = 3 - \dfrac{1}{n + 1}$.
Tableur
★☆☆Dans un tableur, A2 contient $0$ (rang) et B2 contient $u_0 = 4$. Quelles formules saisir en A3 et B3 pour la suite $u_{n+1} = 2u_n - 3$, à recopier vers le bas ?
Rebonds
★★★Une balle lâchée de $2$ m remonte à chaque rebond aux $\dfrac{3}{4}$ de la hauteur précédente. On note $h_n$ la hauteur après le $n$-ième rebond ($h_0 = 2$). Exprimer $h_{n+1}$ puis $h_n$ en fonction de $n$. Après combien de rebonds la hauteur est-elle inférieure à $10$ cm ?
Somme de termes en Python
★★☆Écrire un programme qui calcule $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}$ pour $u_n = n^2$.
Vrai ou faux
★★☆a) Une suite croissante tend vers $+\infty$. b) Si $u_{n+1} - u_n \gt 0$ pour tout $n$, la suite est croissante. c) On relie les points d'une suite.
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