Probabilités conditionnelles
Probabilité conditionnelle, arbres pondérés, formule des probabilités totales, indépendance.
1. Probabilité conditionnelle
Définition
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est :
$$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.$$C'est la probabilité que $B$ se réalise quand on sait que $A$ est réalisé : on restreint l'univers à $A$.
Exemple · Tableau d'effectifs
Sur $200$ élèves, $120$ font du sport, dont $45$ sont des filles. $P_\text{sport}(\text{fille}) = \dfrac{45}{120} = 0{,}375$, alors que $P(\text{sport} \cap \text{fille}) = \dfrac{45}{200} = 0{,}225$.
Propriété · Formule des probabilités composées
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
2. Arbres pondérés
Méthode · Règles
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Propriété · Formule des probabilités totales
Si $A$ et $\overline{A}$ partitionnent l'univers : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$. Avec l'arbre ci-dessus ($B$ : prendre le bus, $R$ : être en retard) : $P(R) = 0{,}4 \times 0{,}1 + 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}04 + 0{,}03 = 0{,}07$.
Méthode · Inverser le conditionnement
$P_R(B) = \dfrac{P(B \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0{,}04}{0{,}07} \approx 0{,}57$ : plus de la moitié des retardataires ont pris le bus.
3. Indépendance
Définition
$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, c'est-à-dire (si $P(A) \neq 0$) $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$.
Attention · Indépendants ≠ incompatibles
Deux événements incompatibles ($A \cap B = \varnothing$) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : si $A$ se réalise, $B$ ne peut plus se réaliser.
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Lecture d'un tableau
★☆☆Dans un club de 200 membres, 120 font du tennis, dont 45 sont mineurs. On choisit un membre qui fait du tennis. Quelle est la probabilité qu'il soit mineur ?
Arbre pondéré
★★☆$40\,\%$ des élèves prennent le bus. Parmi eux, $10\,\%$ arrivent en retard ; parmi les autres, $5\,\%$. Calculer la probabilité qu'un élève arrive en retard.
Inverser le conditionnement
★★★Avec les données précédentes, un élève est en retard. Quelle est la probabilité qu'il ait pris le bus ?
Calcul direct
★☆☆$P(A) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. Calculer $P_A(B)$.
Probabilités composées
★☆☆$P(A) = 0{,}3$ et $P_A(B) = 0{,}6$. Calculer $P(A \cap B)$.
Tableau croisé
★★☆Dans un lycée : $300$ élèves de Seconde dont $160$ filles ; $250$ de Première dont $120$ filles. On choisit un élève. Calculer $P(\text{fille})$, $P_\text{Seconde}(\text{fille})$ et $P_\text{fille}(\text{Seconde})$.
Arbre et probabilités totales
★★☆Une usine a deux machines : A produit $60\,\%$ des pièces avec $2\,\%$ de défauts, B produit le reste avec $5\,\%$ de défauts. Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.
Inverser
★★☆Avec les données précédentes, une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine B ?
Test médical
★★★$1\,\%$ d'une population est malade. Un test est positif pour $99\,\%$ des malades et pour $2\,\%$ des personnes saines. Quelle est la probabilité qu'une personne testée positive soit malade ?
Indépendance
★★☆$P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Indépendance avec un dé
★★☆On lance un dé. $A$ : « pair » ; $B$ : « multiple de 3 ». Sont-ils indépendants ?
Tirages sans remise
★★☆Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ noires. On tire deux boules sans remise. Construire l'arbre et calculer la probabilité d'avoir deux boules de même couleur.
Compléter un arbre
★★☆$P(A) = 0{,}7$, $P_A(B) = 0{,}2$, $P(B) = 0{,}29$. Calculer $P_{\overline{A}}(B)$.
Météo
★★☆S'il pleut un jour, il pleut le lendemain avec une probabilité $0{,}6$ ; s'il ne pleut pas, il pleut le lendemain avec une probabilité $0{,}2$. Il pleut lundi. Quelle est la probabilité qu'il pleuve mercredi ?
Incompatibles et indépendants
★★☆$P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}4$ et $A \cap B = \varnothing$. Sont-ils indépendants ?
Répétition indépendante
★★☆Un tireur atteint sa cible avec une probabilité $0{,}8$, indépendamment à chaque tir. Il tire $3$ fois. Probabilité de tout réussir ? De rater au moins une fois ?
Tableau et indépendance
★★★Sur $400$ personnes, $100$ portent des lunettes, dont $25$ gauchers ; il y a $100$ gauchers en tout. Porter des lunettes et être gaucher sont-ils indépendants ?
Probabilité de l'événement contraire
★☆☆$P_A(B) = 0{,}35$. Calculer $P_A(\overline{B})$.
Sondage
★★★$55\,\%$ des votants sont des femmes. $40\,\%$ des femmes et $30\,\%$ des hommes votent pour X. Un votant pour X est choisi : probabilité que ce soit une femme ?
Vrai ou faux
★★☆a) $P_A(B) = P_B(A)$ en général. b) $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$. c) Deux événements indépendants sont incompatibles.
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