Probabilités
Expérience aléatoire, issues et événements, probabilité d'un événement dans une situation d'équiprobabilité, événement contraire, fréquence et probabilité (loi des grands nombres), expériences à deux épreuves.
1. Vocabulaire
Définition
Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, les issues, sans qu'on puisse prévoir lequel se produira (lancer un dé, tirer une carte). Un événement est un ensemble d'issues (« obtenir un nombre pair »).
2. Calculer une probabilité
Propriété · Équiprobabilité
Si toutes les issues ont la même chance : $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$. Une probabilité est comprise entre $0$ (impossible) et $1$ (certain). L'événement contraire de $A$ a pour probabilité $1 - P(A)$.
Exemple · Dé à six faces
$P(\text{obtenir } 6) = \dfrac{1}{6}$ ; $P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ ; $P(\text{pas de } 6) = \dfrac{5}{6}$.
3. Fréquence et probabilité
Propriété · Loi des grands nombres
Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité. Sur $10$ lancers, on peut obtenir $4$ fois « pile » ; sur $10\,000$ lancers, on obtient presque $50\,\%$.
4. Deux épreuves
Méthode · Tableau ou arbre
Pour deux épreuves (deux dés, deux tirages), on liste toutes les issues dans un tableau à double entrée ou un arbre. Deux dés : $36$ issues ; $P(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
Activité · Simuler des lancers
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Exercices corrigés
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Issues d'un dé
★☆☆Quelles sont les issues du lancer d'un dé à six faces ?
Urne
★☆☆Avec l'urne du cours, probabilité de tirer une boule bleue ? verte ?
Contraire
★☆☆Probabilité de ne pas tirer une boule rouge ?
Dé : nombre pair
★☆☆Probabilité d'obtenir un nombre pair avec un dé ?
Dé : multiple de 3
★☆☆Probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ?
Cartes
★★☆Dans un jeu de $32$ cartes, probabilité de tirer un cœur ? un as ?
Impossible et certain
★☆☆Donner la probabilité d'obtenir $7$ avec un dé, puis un nombre inférieur à $10$.
Pourcentage
★☆☆Écrire la probabilité $\dfrac{3}{8}$ en pourcentage.
Fréquence
★★☆Sur $200$ lancers, le $6$ sort $38$ fois. Fréquence ? Comparer à la probabilité.
Grands nombres
★★☆Pourquoi la fréquence sur $10$ lancers peut-elle être éloignée de la probabilité ?
Deux pièces
★★☆On lance deux pièces. Issues ? Probabilité d'obtenir deux « pile » ?
Au moins un pile
★★☆Probabilité d'obtenir au moins un « pile » avec deux pièces ?
Somme de deux dés
★★☆Probabilité d'obtenir une somme de $12$ avec deux dés ?
Somme 7
★★☆Combien d'issues donnent une somme de $7$ ? Probabilité ?
Contrôle qualité
★★☆Sur $500$ pièces, $15$ sont défectueuses. Probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?
Tirage avec remise
★★★On tire une boule de l'urne, on la remet, puis on en tire une seconde. Probabilité de tirer deux rouges ?
Roue de loterie
★★☆Une roue a $10$ secteurs égaux : $1$ gagne $20$ €, $3$ gagnent $5$ €, les autres rien. Probabilité de gagner quelque chose ?
Simulation
★☆☆Quelle fonction de tableur simule un lancer de dé ?
Jeu équitable
★★★Un jeu : on paie $2$ € ; on gagne $10$ € si on obtient $6$ au dé. Sur $600$ parties, gain moyen de l'organisateur ?
Vrai ou faux
★★☆a) Une probabilité peut valoir $1{,}5$. b) $P(\text{contraire}) = 1 - P(A)$. c) Avec deux dés il y a $12$ issues.
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