Équations et résolution de problèmes
Mettre un problème en équation, résoudre une équation du premier degré (ax + b = c), vérifier une solution, interpréter le résultat dans la situation ; utilisation d'une formule et calcul d'une grandeur inconnue.
1. Qu'est-ce qu'une équation ?
Définition
Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent $x$). La résoudre, c'est trouver la ou les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions.
2. Résoudre $ax + b = c$
Méthode · Méthode
- On soustrait (ou ajoute) le même nombre aux deux membres pour isoler $ax$.
- On divise les deux membres par $a$ (non nul).
- On vérifie en remplaçant $x$ par la solution.
Exemple : $3x + 5 = 26 \iff 3x = 21 \iff x = 7$ ; vérification : $3 \times 7 + 5 = 26$. ✓
Exemple · Inconnue des deux côtés
$5x - 4 = 2x + 11 \iff 3x = 15 \iff x = 5$.
3. Mettre en équation
Méthode · Démarche
- Choisir l'inconnue et dire ce qu'elle représente.
- Traduire l'énoncé par une équation.
- Résoudre.
- Répondre par une phrase, avec l'unité, et vérifier que la réponse a du sens.
Exemple · Problème
Un artisan facture $45$ € de déplacement et $38$ € de l'heure ; la facture est de $216$ €. Avec $x$ le nombre d'heures : $38x + 45 = 216$, $38x = 171$, $x = 4{,}5$. L'intervention a duré $4$ h $30$.
Propriété · Utiliser une formule
On peut calculer une grandeur inconnue à partir d'une formule : avec $v = \dfrac{d}{t}$, on obtient $t = \dfrac{d}{v}$ ; avec $P = U \times I$, on obtient $I = \dfrac{P}{U}$.
Activité · Énigmes en équipe
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Vérifier une solution
★☆☆$x = 4$ est-il solution de $2x + 3 = 11$ ?
Équation simple
★☆☆Résoudre $x + 7 = 15$.
Équation avec produit
★☆☆Résoudre $6x = 42$.
ax + b = c
★☆☆Résoudre $3x + 5 = 26$.
Avec soustraction
★☆☆Résoudre $4x - 6 = 18$.
Solution décimale
★★☆Résoudre $2x + 3 = 10$.
Inconnue des deux côtés
★★☆Résoudre $7x - 2 = 4x + 10$.
Coefficient décimal
★★☆Résoudre $1{,}5x + 4 = 13$.
Balance
★☆☆Sur la balance du cours, combien pèse chaque boîte $x$ ?
Facture d'artisan
★★☆Un plombier facture $40$ € de déplacement et $35$ € de l'heure ; la facture est de $180$ €. Durée de l'intervention ?
Nombre mystère
★☆☆Je triple un nombre et j'ajoute $8$ : j'obtiens $35$. Quel est ce nombre ?
Âges
★★☆Une mère a $26$ ans de plus que sa fille ; la somme de leurs âges est $50$ ans. Âge de la fille ?
Périmètre
★★☆Un rectangle a une longueur égale au double de sa largeur et un périmètre de $36$ m. Dimensions ?
Places de concert
★★☆$3$ places adultes et $2$ places enfants coûtent $96$ € ; une place enfant coûte $12$ €. Prix d'une place adulte ?
Isoler une grandeur
★☆☆Avec $v = \dfrac{d}{t}$, exprimer $t$. Durée pour $150$ km à $60$ km/h ?
Intensité
★★☆Avec $P = U \times I$, calculer l'intensité absorbée par un four de $2\,300$ W sous $230$ V.
Salaire
★★☆Un vendeur touche $1\,450$ € fixes plus $3\,\%$ des ventes. Quel montant de ventes pour gagner $1\,750$ € ?
Économies
★★☆Un apprenti a $120$ € et économise $45$ € par mois. Au bout de combien de mois aura-t-il $480$ € ?
Erreur de mise en équation
★★★Un élève traduit « le double d'un nombre augmenté de $5$ vaut $21$ » par $2(x + 5) = 21$. Quelle autre lecture est possible ? Résoudre les deux.
Vrai ou faux
★★☆a) On peut ajouter le même nombre aux deux membres. b) $2x = 10$ a pour solution $x = 20$. c) Il faut toujours vérifier la solution.
Vérifier
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