Le logarithme népérien
Définition comme réciproque de l'exponentielle, propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivée, limites et croissances comparées, applications (seuils, demi-vie, échelles logarithmiques).
1. Définition
Définition
Pour tout réel $a \gt 0$, l'équation $e^x = a$ a une unique solution, notée $\ln a$ : c'est le logarithme népérien de $a$. Ainsi $e^{\ln a} = a$ pour $a \gt 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$. En particulier $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$.
2. Propriétés algébriques
Propriété
Pour $a \gt 0$, $b \gt 0$ et $n$ entier :
$$\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln\dfrac{1}{a} = -\ln a \qquad \ln(a^n) = n\ln a \qquad \ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a$$Propriété · Équations et inéquations
$\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ : pour $a, b \gt 0$, $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a \lt \ln b \iff a \lt b$. $\ln x \lt 0$ sur $]0\,;\,1[$ et $\ln x \gt 0$ sur $]1\,;\,+\infty[$.
Attention · Ensemble de définition
Avant de résoudre une équation avec des logarithmes, on détermine les valeurs de $x$ pour lesquelles toutes les expressions sont définies (arguments strictement positifs).
3. Étude de la fonction ln
Propriété
$\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ ; plus généralement $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ pour $u \gt 0$. Limites : $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x = 0$, $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1$.
4. Applications
Méthode · Déterminer un seuil
Pour résoudre $0{,}9^n \lt 0{,}01$ : on applique $\ln$ (croissante) : $n\ln 0{,}9 \lt \ln 0{,}01$, puis on divise par $\ln 0{,}9 \lt 0$ (le sens change) : $n \gt \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9} \approx 43{,}7$, donc $n \geq 44$.
Exemple · Demi-vie
Si $N(t) = N_0e^{-\lambda t}$, la demi-vie vérifie $e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{1}{2}$, soit $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
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Exercices corrigés
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Simplifier
★☆☆Écrire en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ : $A = \ln 12$ ; $B = \ln\dfrac{9}{8}$.
Équation
★★☆Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $e^{2x} = 5$, puis $\ln(x - 1) = 2$.
Étude de fonction
★★★Étudier les variations de $f(x) = x - \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Valeurs remarquables
★☆☆Calculer $\ln 1$, $\ln e$, $\ln e^3$, $e^{\ln 5}$ et $\ln\dfrac{1}{e}$.
Décomposer un logarithme
★☆☆Exprimer $\ln 12$, $\ln 18$ et $\ln\dfrac{4}{9}$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$.
Écrire avec un seul logarithme
★★☆Écrire $A = \ln 8 - \ln 2 + 3\ln\dfrac{1}{2}$ sous la forme $k\ln 2$.
Équation avec ensemble de définition
★★☆Résoudre $\ln(2x - 1) = \ln(x + 3)$.
Somme de logarithmes
★★★Résoudre $\ln x + \ln(x - 1) = \ln 6$.
Inéquation logarithmique
★★☆Résoudre $\ln x \lt 2$ puis $\ln(x - 1) \geq 0$.
Résoudre e? = a
★☆☆Résoudre $e^x = 5$, $e^{2x} = 7$ et $e^{x} = -1$.
Seuil géométrique
★★☆Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $0{,}9^n \lt 0{,}01$.
Doubler un capital
★★☆Un capital est placé à $3\,\%$ par an à intérêts composés. Au bout de combien d'années a-t-il doublé ?
Dériver avec ln
★☆☆Dériver $f(x) = x\ln x$ et $g(x) = \ln(3x + 1)$.
Étude de x ? ln x
★★☆Étudier les variations de $f(x) = x - \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ et en déduire que $f(x) \geq 1$.
Limites avec ln
★★☆Limites de $\dfrac{\ln x}{x^2}$ en $+\infty$, de $\ln x - x$ en $+\infty$ et de $\dfrac{1}{x} + \ln x$ en $0^+$.
Étude de ln(x)/x
★★★Étudier $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : variations, maximum, limites.
Tangente à ln
★☆☆Équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $e$.
Demi-vie d'un médicament
★★☆La quantité d'un médicament dans le sang est $Q(t) = Q_0e^{-0{,}0866t}$ ($t$ en h). Calculer sa demi-vie.
Échelle des décibels
★★☆Le niveau sonore est $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ avec $\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ et $I_0 = 10^{-12}$ W/m². Calculer $L$ pour $I = 10^{-5}$ W/m².
Vrai ou faux
★★☆a) $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$. b) $\ln x \lt 0$ pour $0 \lt x \lt 1$. c) $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
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