Primitives et équations différentielles
Primitives, tableau des primitives usuelles, primitives de u'e^u, u'/u, u'u^n, équations différentielles y' = f, y' = ay et y' = ay + b, condition initiale et modèles (refroidissement, circuit RC, chute avec frottement).
1. Primitives
Définition
Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$. Si $F$ est une primitive, toutes les primitives sont les fonctions $F + C$ ($C$ constante) ; une condition $F(x_0) = y_0$ en fixe une seule.
Propriété · Primitives usuelles
| $f(x)$ | $x^n$ ($n \neq -1$) | $\dfrac{1}{x}$ ($x \gt 0$) | $e^{x}$ | $e^{ax}$ | $\dfrac{1}{x^2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $F(x)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\ln x$ | $e^{x}$ | $\dfrac{e^{ax}}{a}$ | $-\dfrac{1}{x}$ |
Formes composées : $u'e^u \to e^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ($u \gt 0$) ; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$.
2. Équations différentielles
Définition
Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ et sa dérivée. Résoudre, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient. Résoudre $y' = f$, c'est chercher les primitives de $f$.
Propriété · y' = ay
Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = ay$ sont les fonctions $y = Ce^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$.
Propriété · y' = ay + b (a ? 0)
La solution constante est $y = -\dfrac{b}{a}$. Les solutions sont les fonctions $y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$. Si $a \lt 0$, toutes tendent vers $-\dfrac{b}{a}$ en $+\infty$.
Méthode · Avec une condition initiale
$y' = -0{,}5y + 1$ : solution constante $2$, donc $y = 2 + Ce^{-0{,}5x}$. Avec $y(0) = 5$ : $2 + C = 5$, $C = 3$, d'où $y = 2 + 3e^{-0{,}5x}$.
3. Modèles
Exemple · Loi de refroidissement de Newton
La température $\theta$ d'un objet dans une pièce à $20\,{}^\circ\text{C}$ vérifie $\theta' = -k(\theta - 20)$. Les solutions sont $\theta(t) = 20 + Ce^{-kt}$.
Exemple · Charge d'un condensateur
Dans un circuit RC alimenté sous la tension $E$ : $RC\,u_C' + u_C = E$, d'où $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/(RC)}\right)$ si le condensateur est initialement déchargé.
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Vérifier une primitive
★☆☆Montrer que $F(x) = xe^x - e^x$ est une primitive de $f(x) = xe^x$.
Primitive d'un polynôme
★☆☆Donner une primitive de $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$.
Primitive avec condition
★★☆Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 2x + 3$ telle que $F(1) = 0$.
Forme u'e^u
★★☆Primitive de $f(x) = 2xe^{x^2}$.
Forme u'/u
★★☆Primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.
Forme u'u?
★★☆Primitive de $f(x) = (2x + 1)(x^2 + x)^3$.
Primitive de 1/x²
★☆☆Primitive sur $]0\,;\,+\infty[$ de $f(x) = \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{x}$.
Primitive de e^(ax)
★☆☆Primitives de $e^{3x}$ et de $e^{-0{,}5x}$.
Vérifier une solution
★☆☆Vérifier que $y = 3e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$.
Résoudre y' = ay
★☆☆Résoudre $y' = -0{,}5y$ avec $y(0) = 4$.
Résoudre y' = ay + b
★★☆Résoudre $y' = -2y + 6$ avec $y(0) = 1$.
Refroidissement d'une boisson
★★★$\theta' = -0{,}1(\theta - 20)$, $\theta(0) = 80$ ($t$ en min). Exprimer $\theta(t)$ et déterminer quand la boisson atteint $40\,{}^\circ\text{C}$.
Charge d'un condensateur
★★★$0{,}01\,u' + u = 5$ et $u(0) = 0$. Exprimer $u(t)$ et sa limite.
Loi de décroissance radioactive
★★☆Le nombre de noyaux vérifie $N' = -\lambda N$ avec $N(0) = N_0$. Exprimer $N(t)$.
Croissance bactérienne
★★☆$y' = 0{,}7y$, $y(0) = 1\,000$ bactéries ($t$ en h). Combien de bactéries après $5$ h ?
Solution constante
★☆☆Quelle est la solution constante de $y' = 3y - 6$ ?
Second membre affine
★★★Montrer que $y_p = x - 1$ est solution de $y' + y = x$, puis donner toutes les solutions.
Lire une famille de solutions
★☆☆Sur la figure du cours, quelle est la limite commune des solutions ? Quelle courbe correspond à $y(0) = -1$ ?
Chute avec frottements
★★★Un parachutiste de $80$ kg vérifie $v' = 10 - 0{,}2v$ avec $v(0) = 0$. Exprimer $v(t)$ et la vitesse limite.
Vrai ou faux
★★☆a) Une fonction admet une seule primitive. b) $\ln(x^2 + 1)$ est une primitive de $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$. c) Les solutions de $y' = 2y$ sont $Ce^{2x}$.
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