Le calcul intégral
Intégrale et aire, calcul avec une primitive, linéarité, relation de Chasles, positivité, valeur moyenne, aire entre deux courbes, intégration par parties, méthode des rectangles.
1. Intégrale et aire
Définition
Pour $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$, l'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.
Propriété · Calcul avec une primitive
Si $F$ est une primitive de $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ : $$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$ Cette formule s'applique aussi quand $f$ change de signe (l'intégrale compte alors négativement les aires sous l'axe).
2. Propriétés
Propriété
- Linéarité : $\displaystyle\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g$.
- Chasles : $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$.
- Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a\,;\,b]$ ($a \leq b$), $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ; si $f \leq g$, $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$.
- Valeur moyenne : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Propriété · Aire entre deux courbes
Si $f \geq g$ sur $[a\,;\,b]$, l'aire du domaine compris entre les deux courbes est $\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$.
3. Intégration par parties
Propriété
Pour $u$, $v$ dérivables à dérivées continues : $$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$$
Exemple
$\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$ : $u = x$, $v' = e^x$, donc $u' = 1$, $v = e^x$. $\Big[xe^x\Big]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1$.
4. Approximation
Méthode · Méthode des rectangles
On découpe $[a\,;\,b]$ en $n$ intervalles de longueur $\dfrac{b - a}{n}$ et on somme les aires des rectangles : la somme tend vers l'intégrale quand $n$ augmente.
S'entraîner
Exercices corrigés
🎓 20 exercices corrigés et un quiz vous attendent dans ce chapitre.
Créez votre compte gratuit pour voir les corrections, faire les quiz et suivre votre progression.
Calculer une intégrale
★☆☆Calculer $I = \displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$.
Aire entre courbe et axe
★★☆Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = e^x$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 1$.
Intégration par parties
★★★Calculer $J = \displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx$.
Intégrale d'un polynôme
★☆☆Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$.
Intégrale de l'exponentielle
★☆☆Calculer $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$ et $\displaystyle\int_0^2 e^{-x}\,dx$.
Intégrale de 1/x
★☆☆Calculer $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$.
Interprétation géométrique
★☆☆Calculer $\displaystyle\int_0^4 \dfrac{x}{2}\,dx$ par une primitive puis par une aire de triangle.
Utiliser la linéarité
★★☆On sait que $\displaystyle\int_0^1 f = 3$ et $\displaystyle\int_0^1 g = -2$. Calculer $\displaystyle\int_0^1 (2f - 3g)$.
Relation de Chasles
★☆☆$\displaystyle\int_0^2 f = 5$ et $\displaystyle\int_0^5 f = 8$. Calculer $\displaystyle\int_2^5 f$.
Comparer deux intégrales
★★☆Sans calcul, comparer $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ et $\displaystyle\int_0^1 x\,dx$. Vérifier.
Valeur moyenne
★★☆Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;\,3]$.
Aire entre deux courbes
★★☆Calculer l'aire du domaine de la figure du cours, entre $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0\,;\,1]$.
Avec une forme u'e^u
★★☆Calculer $\displaystyle\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx$.
Intégrer le logarithme
★★★Par parties, calculer $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$.
Par parties avec l'exponentielle
★★★Calculer $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx$.
Rectangles à la main
★★☆Approcher $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ par $4$ rectangles « à gauche ». Comparer à la valeur exacte.
Rectangles en Python
★★☆Compléter la fonction pour qu'elle renvoie l'approximation de $\displaystyle\int_a^b f$ par $n$ rectangles à gauche.
def rectangles(f, a, b, n):
h = (b - a) / n
s = 0
for k in range(n):
s = s + ...
return sDistance parcourue
★★☆Un mobile a pour vitesse $v(t) = 3t^2$ (m/s). Quelle distance parcourt-il entre $t = 0$ et $t = 2$ s ?
Suite d'intégrales
★★★$I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,dx$. Calculer $I_n$ et sa limite.
Vrai ou faux
★★☆a) Une intégrale est toujours positive. b) $\displaystyle\int_a^a f = 0$. c) Si $f \leq g$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$.
Vérifier
Avez-vous bien compris ?
Répondez au quiz : la correction s'affiche immédiatement.