Mouvement des planètes et des satellites
Loi de la gravitation, lois de Kepler, mouvement circulaire uniforme d'un satellite, vitesse et période orbitales, troisième loi de Kepler, satellites géostationnaires, détermination de masses.
1. Gravitation et lois de Kepler
Propriété · Loi de la gravitation universelle
Deux corps de masses $M$ et $m$, distants de $r$, s'attirent avec une force $F = \dfrac{GMm}{r^2}$, avec $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg².
Propriété · Lois de Kepler
- Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer.
- Le segment Soleil-planète balaie des aires égales en des durées égales : la planète va plus vite près du Soleil.
- $\dfrac{T^2}{a^3}$ est le même pour toutes les planètes ($a$ : demi-grand axe, $T$ : période).
2. Satellites en orbite circulaire
Méthode · Appliquer la deuxième loi de Newton
Dans le référentiel géocentrique, un satellite en orbite circulaire de rayon $r$ n'est soumis qu'à la force gravitationnelle, dirigée vers le centre : $m\vec{a} = \dfrac{GMm}{r^2}\vec{u}_n$. L'accélération est donc centripète, de valeur $\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{GM}{r^2}$ :
$$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} \qquad T = \dfrac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}} \qquad \dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$$Le mouvement est uniforme ($\vec{a} \perp \vec{v}$) et la vitesse ne dépend pas de la masse du satellite.
Exemple · Satellite géostationnaire
Il tourne dans le plan de l'équateur, dans le même sens que la Terre, avec $T = 23$ h $56$ min : il reste au-dessus du même point. On trouve $r \approx 42\,200$ km, soit une altitude d'environ $35\,800$ km.
Expérience · Vérifier la troisième loi de Kepler avec les lunes de Jupiter
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Exercices corrigés
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Vitesse de l'ISS
★★☆L'ISS orbite à $400$ km d'altitude. Calculer sa vitesse et sa période. ($G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ SI, $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, $R_T = 6\,371$ km)
Troisième loi de Kepler
★★☆La Terre tourne autour du Soleil en $1$ an à $1{,}0$ ua. Mars est à $1{,}52$ ua. Calculer sa période de révolution.
Masse d'un astre
★★★La Lune tourne autour de la Terre en $27{,}3$ jours sur une orbite de rayon $3{,}84 \times 10^8$ m. En déduire la masse de la Terre.
Attraction Terre-Lune
★☆☆Calculer la force d'attraction entre la Terre ($6{,}0 \times 10^{24}$ kg) et la Lune ($7{,}3 \times 10^{22}$ kg) distantes de $3{,}8 \times 10^8$ m.
Pesanteur en altitude
★★☆Calculer $g$ à $400$ km d'altitude ($R_T = 6\,370$ km, $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg).
Vitesse orbitale
★★☆Calculer la vitesse d'un satellite à $800$ km d'altitude.
Période orbitale
★★☆En déduire sa période.
Altitude géostationnaire
★★★Retrouver le rayon de l'orbite géostationnaire ($T = 86\,164$ s).
Loi des aires
★☆☆Où la Terre va-t-elle le plus vite sur son orbite : au périhélie ou à l'aphélie ? Justifier.
Loi des orbites
★☆☆Énoncer la première loi de Kepler. Une orbite circulaire la vérifie-t-elle ?
Pourquoi le mouvement est uniforme
★★☆Expliquer pourquoi un satellite en orbite circulaire a un mouvement uniforme.
Exploiter les lunes de Jupiter
★★☆Callisto orbite à $a = 1{,}88 \times 10^9$ m. Prévoir sa période avec le rapport de l'expérience.
Vitesse de la Terre
★☆☆La Terre parcourt une orbite quasi circulaire de rayon $1{,}5 \times 10^{11}$ m en $1$ an ($3{,}16 \times 10^7$ s). Vitesse ?
Peser le Soleil
★★☆En déduire la masse du Soleil.
Orbite des satellites GPS
★★★Les satellites GPS ont une période de $12$ h. Altitude ?
Comparer deux satellites
★★☆Deux satellites sont en orbite circulaire, l'un à $400$ km, l'autre à $20\,000$ km. Lequel va le plus vite ? A la plus grande période ?
Impesanteur
★☆☆Les astronautes de l'ISS « flottent ». Est-ce parce qu'il n'y a plus de pesanteur ?
Vitesse de libération
★★★La vitesse minimale pour échapper à l'attraction terrestre est $v_\ell = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$. La calculer.
Année martienne
★★☆Mars orbite à $1{,}52$ UA du Soleil (Terre : $1$ UA, $1$ an). Durée de l'année martienne ?
Vrai ou faux
★★☆a) La vitesse d'un satellite dépend de sa masse. b) $\dfrac{T^2}{r^3}$ dépend de l'astre attracteur. c) Un satellite géostationnaire est au-dessus de l'équateur.
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