Écoulement des fluides
Poussée d'Archimède et flottaison, débit volumique et conservation, relation de Bernoulli, effet Venturi, formule de Torricelli, applications (avion, tube de Pitot, circulation sanguine).
1. Poussée d'Archimède
Propriété
Tout corps immergé dans un fluide subit une force verticale, vers le haut, égale au poids du fluide déplacé : $$\Pi = \rho_\text{fluide}\,V_\text{immergé}\,g$$ Un corps flotte si sa masse volumique moyenne est inférieure à celle du fluide ; à l'équilibre, la poussée compense le poids.
Exemple · Iceberg
À l'équilibre : $\rho_\text{glace}V g = \rho_\text{mer}V_\text{imm}\,g$, d'où $\dfrac{V_\text{imm}}{V} = \dfrac{917}{1\,025} \approx 0{,}89$ : environ $89\,\%$ de l'iceberg est immergé.
2. Débit et conservation
Propriété
Le débit volumique est $D_V = \dfrac{V}{\Delta t} = S \times v$ (m³/s). Pour un fluide incompressible en écoulement permanent, il se conserve : $S_1v_1 = S_2v_2$.
3. Relation de Bernoulli
Propriété
Pour un fluide parfait (sans viscosité), incompressible, en écoulement permanent, le long d'une ligne de courant : $$P + \dfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante}$$ C'est une forme de conservation de l'énergie (par unité de volume).
Propriété · Conséquences
- Effet Venturi : dans un rétrécissement horizontal, $v$ augmente donc $P$ diminue.
- Formule de Torricelli : un liquide s'écoule d'un orifice situé à la profondeur $h$ sous la surface libre (grand réservoir) à la vitesse $v = \sqrt{2gh}$.
- Une aile d'avion accélère l'air sur l'extrados : la dépression qui en résulte contribue à la portance.
Expérience · Vidange d'une bouteille
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Exercices corrigés
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Calculer une poussée d'Archimède
★☆☆Calculer la poussée exercée par l'eau sur un objet de $2{,}0$ L totalement immergé.
Flotte ou coule
★★☆Un morceau de bois ($\rho = 600$ kg/m³) est posé sur l'eau. Flotte-t-il ? Quelle fraction de son volume est immergée ?
Partie émergée d'un iceberg
★★☆Quel pourcentage d'un iceberg ($\rho = 917$ kg/m³) dépasse de l'eau de mer ($\rho = 1\,025$ kg/m³) ?
Poids apparent
★★☆Une pierre de $3{,}0$ kg et de volume $1{,}2$ L est plongée dans l'eau. Calculer son poids apparent.
Montgolfière
★★★Un ballon de $2\,500$ m³ contient de l'air chaud ($0{,}95$ kg/m³) dans l'air ambiant ($1{,}20$ kg/m³). Quelle masse (enveloppe, nacelle, passagers) peut-il soulever ?
Débit d'un robinet
★☆☆Un robinet remplit un seau de $10$ L en $40$ s. Débit en L/s et en m³/s ?
Section et vitesse
★☆☆L'eau circule à $1{,}0$ m/s dans un tuyau de $4{,}0$ cm² qui se rétrécit à $1{,}0$ cm². Vitesse dans la partie étroite ?
Lance d'incendie
★★☆Une lance débite $10$ L/s par une buse de diamètre $2{,}0$ cm. Vitesse de sortie ?
Appliquer Bernoulli
★★☆Dans une conduite horizontale, l'eau passe de $2{,}0$ m/s à $6{,}0$ m/s. Variation de pression ?
Effet Venturi
★★☆Sur la figure du cours, pourquoi le liquide monte-t-il moins haut dans le tube placé sur le rétrécissement ?
Formule de Torricelli
★★☆Vitesse de sortie de l'eau par un trou situé $45$ cm sous la surface ?
Exploiter la vidange
★★☆Dans l'expérience, si la hauteur d'eau est divisée par $4$, comment varie la vitesse de sortie ?
Portance d'une aile
★★☆Expliquer qualitativement, avec Bernoulli, une partie de la portance d'une aile d'avion.
Château d'eau
★★☆Le niveau d'un château d'eau est $30$ m au-dessus d'un robinet. Surpression au robinet fermé ? Vitesse de sortie théorique robinet ouvert ?
Sténose et pression
★★☆Dans une artère rétrécie, la vitesse du sang passe de $0{,}3$ à $1{,}2$ m/s ($\rho = 1\,060$ kg/m³). Baisse de pression ?
Tube de Pitot
★★★Un tube de Pitot mesure une différence de pression $\Delta P = \dfrac{1}{2}\rho_\text{air}v^2 = 600$ Pa ($\rho_\text{air} = 1{,}2$ kg/m³). Vitesse de l'avion par rapport à l'air ?
Densimètre
★★☆Un densimètre s'enfonce-t-il plus dans l'eau ou dans l'alcool ($\rho = 790$ kg/m³) ? Pourquoi ?
Sous-marin
★★☆Comment un sous-marin plonge-t-il puis remonte-t-il ?
Conduite descendante
★★★De l'eau circule à vitesse constante dans une conduite de section constante qui descend de $10$ m. Comment varie la pression ?
Vrai ou faux
★★☆a) La poussée d'Archimède dépend de la masse de l'objet. b) Là où un fluide va plus vite, sa pression est plus faible (même altitude). c) Le débit se conserve dans un tuyau sans fuite.
Vérifier
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