Thermodynamique et transferts thermiques
Modèle du gaz parfait, énergie interne, premier principe, capacité thermique, changements d'état, modes de transfert, flux et résistance thermique, loi de Newton et évolution de la température.
1. Le gaz parfait
Propriété · Équation d'état
À basse pression, un gaz se comporte comme un gaz parfait : $PV = nRT$, avec $P$ en Pa, $V$ en m³, $n$ en mol, $T$ en kelvins ($T = \theta + 273{,}15$) et $R = 8{,}314$ J·mol?¹·K?¹.
2. Énergie interne et premier principe
Définition
L'énergie interne $U$ d'un système est la somme des énergies microscopiques (agitation thermique, interactions). Pour un système fermé, au repos macroscopique, le premier principe s'écrit : $$\Delta U = W + Q$$ où $W$ est le travail et $Q$ le transfert thermique reçus (comptés positivement s'ils sont reçus).
Propriété · Capacité thermique
Pour un solide ou un liquide (incompressible) sans changement d'état : $\Delta U = C\,\Delta T = m\,c\,\Delta T$, avec $c$ la capacité thermique massique ($4\,180$ J·kg?¹·K?¹ pour l'eau). Lors d'un changement d'état : $Q = m\,L$ ($L$ : énergie massique de changement d'état, $334$ kJ/kg pour la fusion de la glace).
3. Transferts thermiques
Définition · Trois modes
- Conduction : de proche en proche, sans déplacement de matière (paroi, casserole).
- Convection : par déplacement de matière dans un fluide (radiateur, courants d'air).
- Rayonnement : par ondes électromagnétiques, même dans le vide (Soleil, infrarouge).
Propriété · Flux et résistance thermique
Le flux thermique $\Phi = \dfrac{Q}{\Delta t}$ (en W) traversant une paroi est $\Phi = \dfrac{\theta_1 - \theta_2}{R_\text{th}}$. Pour une paroi plane d'épaisseur $e$, de surface $S$ et de conductivité $\lambda$ : $R_\text{th} = \dfrac{e}{\lambda S}$. Des parois accolées ont des résistances qui s'additionnent.
4. Évolution de la température
Propriété · Loi de Newton
Le flux échangé par un corps à la température $\theta$ avec l'extérieur à $\theta_\text{ext}$ est proportionnel à l'écart : $\Phi = hS(\theta - \theta_\text{ext})$. Le premier principe donne $mc\,\dfrac{d\theta}{dt} = -hS(\theta - \theta_\text{ext})$, d'où $\theta(t) = \theta_\text{ext} + (\theta_0 - \theta_\text{ext})e^{-t/\tau}$ avec $\tau = \dfrac{mc}{hS}$.
Expérience · Refroidissement d'une canette
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Exercices corrigés
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Chauffer de l'eau
★☆☆Quelle énergie faut-il pour chauffer $1{,}5$ kg d'eau de $20\,{}^\circ\text{C}$ à $100\,{}^\circ\text{C}$ ?
Durée de chauffe
★★☆Une bouilloire de $2\,000$ W chauffe l'eau précédente. En supposant qu'aucune énergie n'est perdue, combien de temps faut-il ?
Isolation d'un mur
★★★Un mur a une résistance thermique de $0{,}020$ K/W. Il fait $19\,{}^\circ\text{C}$ dedans et $4\,{}^\circ\text{C}$ dehors. Calculer le flux thermique et l'énergie perdue en 24 h.
Volume molaire
★☆☆Quel volume occupe $1{,}0$ mol de gaz parfait à $0\,{}^\circ\text{C}$ et $1{,}013 \times 10^5$ Pa ?
Pneu qui chauffe
★★☆Un pneu est gonflé à $2{,}2$ bar à $10\,{}^\circ\text{C}$. Après un trajet, l'air est à $40\,{}^\circ\text{C}$ (volume constant). Nouvelle pression ?
Kelvins
★☆☆Convertir $-196\,{}^\circ\text{C}$, $37\,{}^\circ\text{C}$ et $100\,{}^\circ\text{C}$ en kelvins.
Appliquer le premier principe
★☆☆Un gaz reçoit un travail de $500$ J et cède $200$ J de chaleur. Variation d'énergie interne ?
Capacité thermique
★☆☆Capacité thermique de $2{,}0$ kg d'eau ?
Faire fondre de la glace
★★☆Énergie pour faire fondre $500$ g de glace à $0\,{}^\circ\text{C}$ ($L_f = 334$ kJ/kg) ?
Reconnaître le mode de transfert
★☆☆Quel mode de transfert : a) la poignée d'une casserole chauffe ; b) l'air chaud monte au-dessus d'un radiateur ; c) on sent la chaleur d'un feu de camp à distance ?
Flux thermique
★☆☆Une maison perd $3{,}6$ MJ en une heure. Flux thermique moyen ?
Résistance d'une paroi isolante
★★☆Une paroi de $10$ m² est isolée par $20$ cm de laine de verre ($\lambda = 0{,}040$ W·m?¹·K?¹). Calculer $R_\text{th}$ puis le flux pour un écart de $20\,{}^\circ\text{C}$.
Double vitrage
★★☆Un vitrage est formé de deux vitres ($R = 0{,}005$ K/W chacune) séparées par une lame d'air ($R = 0{,}10$ K/W). Résistance totale ? Intérêt ?
Exploiter le refroidissement
★★☆Dans l'expérience, $\theta(t) = 20 + 60e^{-t/15}$ ($t$ en min). Température au bout de $15$ min ? de $45$ min ?
Établir la loi de Newton
★★★Montrer que $mc\dfrac{d\theta}{dt} = -hS(\theta - \theta_\text{ext})$ admet pour solution $\theta(t) = \theta_\text{ext} + (\theta_0 - \theta_\text{ext})e^{-t/\tau}$ et exprimer $\tau$.
Rendement d'une bouilloire
★★☆Une bouilloire de $2{,}0$ kW porte $1{,}0$ L d'eau de $20$ à $100\,{}^\circ\text{C}$ en $3{,}0$ min. Rendement ?
Mélange d'eaux
★★★On mélange $200$ g d'eau à $80\,{}^\circ\text{C}$ et $300$ g d'eau à $20\,{}^\circ\text{C}$ (sans pertes). Température finale ?
Bouteille isotherme
★☆☆Comment une bouteille isotherme limite-t-elle les trois modes de transfert ?
Rayonnement infrarouge
★☆☆Pourquoi une caméra thermique « voit-elle » une personne dans le noir ?
Vrai ou faux
★★☆a) Le rayonnement nécessite un milieu matériel. b) Les résistances thermiques de parois accolées s'additionnent. c) Dans $PV = nRT$, $T$ est en degrés Celsius.
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