Le circuit RC
Intensité et charge, condensateur et capacité, équation différentielle du circuit RC, charge et décharge, constante de temps, énergie stockée, capteurs capacitifs.
1. Le condensateur
Définition
Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Il stocke des charges opposées $q$ et $-q$ sur ses armatures : $q = C\,u_C$, où $C$ est sa capacité en farads (F). L'intensité est le débit de charges : $i = \dfrac{dq}{dt} = C\,\dfrac{du_C}{dt}$.
2. Charge et décharge
Méthode · Établir l'équation différentielle
Loi des mailles : $E = Ri + u_C = RC\dfrac{du_C}{dt} + u_C$. Avec $\tau = RC$ (en secondes) : $$\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{u_C}{\tau} = \dfrac{E}{\tau}$$ Condensateur initialement déchargé : $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$.
Propriété · Décharge
Si le condensateur chargé sous $E$ se décharge dans $R$ : $\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{u_C}{\tau} = 0$, d'où $u_C(t) = Ee^{-t/\tau}$. À $t = \tau$, il reste $37\,\%$ de la tension initiale.
Propriété · Énergie
Un condensateur chargé sous la tension $u$ stocke l'énergie $\mathcal{E} = \dfrac{1}{2}Cu^2$, restituée lors de la décharge (flash, défibrillateur).
Expérience · Suivre la charge avec un microcontrôleur
Exemple · Capteurs capacitifs
Un écran tactile détecte le doigt car celui-ci modifie localement une capacité, donc une constante de temps mesurée en permanence.
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Exercices corrigés
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Constante de temps
★☆☆Calculer $\tau$ pour $R = 10$ k? et $C = 100\ \mu\text{F}$. Au bout de combien de temps le condensateur est-il chargé ?
Valeur de la tension
★★☆Avec $E = 6{,}0$ V et $\tau = 2{,}0$ s, calculer $u_C$ à $t = 4{,}0$ s lors de la charge.
Vérifier une solution
★★★Vérifier que $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ est solution de $RC\,u_C' + u_C = E$.
Charge d'un condensateur
★☆☆Un condensateur de $100\ \mu\text{F}$ est chargé sous $12$ V. Charge stockée ?
Charge à courant constant
★☆☆Un condensateur est chargé par un courant constant de $2{,}0$ mA pendant $5{,}0$ s. Charge accumulée ?
Calculer ?
★☆☆$R = 10$ k$\Omega$ et $C = 47\ \mu\text{F}$. Calculer $\tau$.
Charge complète
★☆☆Au bout de combien de temps considère-t-on la charge terminée ? Quel pourcentage de $E$ est alors atteint ?
Équation de charge
★★☆Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ lors de la charge sous la tension $E$.
Tension à t = ?
★☆☆Quelle fraction de $E$ la tension atteint-elle à $t = \tau$ lors de la charge ?
Lire ? sur une courbe
★★☆Décrire deux méthodes pour lire $\tau$ sur la courbe de charge.
Demi-décharge
★★☆Lors de la décharge, au bout de combien de temps la tension est-elle divisée par $2$ ?
Énergie stockée
★☆☆Énergie stockée par un condensateur de $470\ \mu\text{F}$ chargé sous $12$ V ?
Défibrillateur
★★★Un défibrillateur contient un condensateur de $200\ \mu\text{F}$ chargé sous $2\,000$ V. Énergie stockée ? Si elle est délivrée en $4$ ms, puissance moyenne ?
Flash photographique
★★☆Un flash libère $5{,}0$ J en $1{,}0$ ms. Puissance ? Pourquoi utiliser un condensateur plutôt que la pile directement ?
Intensité au départ
★★☆À la fermeture du circuit (condensateur déchargé), que vaut $i$ ? Application : $E = 5$ V, $R = 10$ k$\Omega$.
Exploiter l'acquisition
★★☆Avec un condensateur de $220\ \mu\text{F}$ et la même résistance, quelle valeur de $\tau$ attend-on ? Quelle tension à $t = 2{,}2$ s ?
Écran tactile
★★☆Expliquer pourquoi un écran tactile capacitif ne réagit pas avec un gant épais.
Choisir R
★★☆On veut $\tau = 1{,}0$ s avec $C = 100\ \mu\text{F}$. Quelle résistance choisir ?
Expression de i(t)
★★★À partir de $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$, établir l'expression de $i(t)$ lors de la charge.
Vrai ou faux
★★☆a) $\tau = RC$ s'exprime en secondes. b) Plus $C$ est grand, plus la charge est rapide. c) À la fin de la charge, $i = 0$.
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