Suites numériques
Suites de nombres, notation uₙ, suites arithmétiques (évolution en valeur constante) et géométriques (évolution en pourcentage constant), terme de rang n, représentation graphique, utilisation du tableur.
1. Suites arithmétiques
Définition
Une suite est arithmétique de raison $r$ si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$. Alors $u_n = u_0 + n \times r$. Elle modélise une évolution « de $r$ unités par période ».
Exemple
Une association compte $400$ adhérents et en gagne $60$ par mois : $u_n = 400 + 60n$ ; dans $10$ mois, $u_{10} = 1\,000$.
2. Suites géométriques
Définition
Une suite est géométrique de raison $q$ si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par $q$ : $u_{n+1} = q \times u_n$. Alors $u_n = u_0 \times q^n$. Une hausse de $t\,\%$ par période correspond à $q = 1 + \dfrac{t}{100}$, une baisse à $q = 1 - \dfrac{t}{100}$.
Activité · Comparer deux évolutions au tableur
=B2+60 ; en C, $400$ puis =C2*1,12. Recopier vers le bas et repérer quand C dépasse B.⚠️ Une erreur dans ce cours ? Signalez-la
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Exercices corrigés
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Reconnaître une suite
★☆☆Arithmétique, géométrique ou ni l'un ni l'autre : a) $5, 9, 13, 17$ ; b) $2, 6, 18, 54$ ; c) $1, 4, 9, 16$.
Termes d'une suite arithmétique
★☆☆$u_0 = 120$, $r = 15$. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_{10}$.
Termes d'une suite géométrique
★☆☆$v_0 = 500$, $q = 1{,}1$. Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$.
Adhérents
★☆☆$u_n = 400 + 60n$. Nombre d'adhérents dans $1$ an ($12$ mois) ?
Économies régulières
★★☆Une personne a $150$ € et met de côté $35$ € par mois. Somme après $n$ mois ? Après $8$ mois ?
Stock de produits
★★☆Un stock de $500$ compresses diminue de $40$ par jour. Après combien de jours reste-t-il moins de $100$ compresses ?
Évolution en pourcentage
★★☆Un loyer de $600$ € augmente de $2\,\%$ par an. Loyer dans $3$ ans ?
Baisse en pourcentage
★★☆Un appareil de $800$ € perd $20\,\%$ de sa valeur par an. Valeur dans $2$ ans ?
Raison d'une évolution
★☆☆Quelle raison $q$ pour : a) $+5\,\%$ par mois ; b) $-10\,\%$ par an ; c) doublement chaque jour ?
Croissance bactérienne
★★☆Une culture de $200$ bactéries double toutes les heures. Nombre après $5$ h ?
Exploiter le tableur
★★☆Dans l'activité, quelle formule écrire en C3 ? Quelle valeur obtient-on au mois $10$ ?
Lire un graphique
★☆☆Sur la figure du cours, laquelle des suites a des points alignés ? Pourquoi ?
Trouver la raison
★★☆Une suite arithmétique vérifie $u_0 = 30$ et $u_5 = 80$. Raison ?
Trouver la raison géométrique
★★☆Une suite géométrique vérifie $v_0 = 1\,000$ et $v_1 = 1\,030$. Raison ? Taux d'évolution ?
Comparer deux offres
★★★Salaire A : $1\,500$ € puis $+30$ € par an. Salaire B : $1\,500$ € puis $+2\,\%$ par an. Lequel est le plus élevé après $5$ ans ?
Population d'une ville
★★☆Une ville de $12\,000$ habitants perd $1{,}5\,\%$ par an. Population dans $4$ ans ?
Calculer avec la formule
★☆☆$u_n = 25 + 4n$. Calculer $u_0$, $u_7$, $u_{20}$.
Suite décroissante
★☆☆Une suite géométrique de premier terme $1\,000$ et de raison $0{,}5$ est-elle croissante ou décroissante ? Termes $1$ et $2$ ?
Seuil géométrique
★★★Avec $v_n = 400 \times 1{,}12^n$, à partir de quel mois dépasse-t-on $1\,000$ abonnés ?
Vrai ou faux
★★☆a) Une hausse de $3\,\%$ par an donne une suite arithmétique. b) $u_n = u_0 + nr$ pour une suite arithmétique. c) $q = 0{,}8$ correspond à une baisse de $20\,\%$.
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