Fonctions polynômes du second degré
Fonctions x ↦ ax² + bx + c, parabole, sens de variation et extremum, lecture graphique, résolution graphique d'équations, problèmes d'optimisation.
1. La parabole
Définition
Une fonction polynôme du second degré s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si $a \gt 0$ (elle admet un minimum), vers le bas si $a \lt 0$ (elle admet un maximum).
Propriété · Sommet
Le sommet a pour abscisse $x = -\dfrac{b}{2a}$. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale passant par le sommet.
Exemple · Optimiser une recette
Pour une vente de gâteaux au profit d'une association, la recette est $R(x) = -x^2 + 30x$ ($x$ : prix en €). $a = -1 \lt 0$ : maximum en $x = -\dfrac{30}{-2} = 15$ €, recette $R(15) = 225$ €.
Activité · Explorer une parabole avec GeoGebra
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Identifier a, b, c
★☆☆Donner $a$, $b$ et $c$ pour $f(x) = 3x^2 - 2x + 7$ et $g(x) = -x^2 + 5$.
Allure de la parabole
★☆☆Les paraboles de $f(x) = 2x^2 + 1$ et $g(x) = -0{,}5x^2 + 3x$ sont-elles tournées vers le haut ou vers le bas ?
Calculer des images
★☆☆$f(x) = x^2 - 4x + 3$. Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(5)$.
Sommet
★★☆Abscisse et ordonnée du sommet de $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
Maximum
★★☆$g(x) = -2x^2 + 8x$. Maximum ?
Lecture graphique
★☆☆Sur la figure du cours, lire la recette pour un prix de $10$ €, puis le prix qui donne la recette maximale.
Résolution graphique
★★☆Sur la figure du cours, pour quels prix la recette dépasse-t-elle $200$ € ?
Exploiter GeoGebra
★★☆Avec $g(x) = x^2 - 4x + 3$, résoudre $g(x) = 0$ (lecture de l'activité) et vérifier par le calcul.
Tableau de valeurs
★☆☆Compléter pour $f(x) = x^2$ : $x = -3, -1, 0, 2, 4$.
Tableau de variations
★★☆Dresser le tableau de variations de $f(x) = x^2 - 6x + 5$ sur $[0\,;\,6]$.
Aire d'un enclos
★★★Avec $20$ m de grillage, on construit un enclos rectangulaire contre un mur (3 côtés). Si $x$ est la largeur, l'aire est $A(x) = x(20 - 2x)$. Aire maximale ?
Trajectoire d'un ballon
★★☆La hauteur d'un ballon est $h(t) = -5t^2 + 10t + 1$ (m). Hauteur maximale ?
Coût de production
★★☆Le coût de fabrication de $x$ repas est $C(x) = 0{,}02x^2 - 2x + 80$ (centaines d'€). Pour quel nombre de repas est-il minimal ?
Symétrie
★☆☆Une parabole a son sommet en $x = 4$ et passe par $(1\,;\,6)$. Quel autre point a la même ordonnée ?
Point sur la courbe
★☆☆Le point $(2\,;\,5)$ appartient-il à la courbe de $f(x) = x^2 + x - 1$ ?
Forme factorisée
★★☆$f(x) = (x - 2)(x - 6)$. Pour quelles valeurs $f(x) = 0$ ? Abscisse du sommet ?
Développer
★☆☆Développer $f(x) = (x - 2)(x - 6)$.
Tableur
★☆☆Quelle formule écrire en B2 pour calculer $f(x) = -x^2 + 30x$ avec $x$ en A2 ?
Bénéfice
★★★Le bénéfice d'une vente est $B(x) = -x^2 + 30x - 125$. Pour quels prix est-il positif ? (indication : $B(5) = 0$ et $B(25) = 0$)
Vrai ou faux
★★☆a) Si $a \gt 0$, la parabole admet un maximum. b) Le sommet a pour abscisse $-\dfrac{b}{2a}$. c) $x \mapsto 3x + 2$ est du second degré.
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